Determine a equação reduzida da elipse, satisfazendo a propriedade dada:
Centro (0,0), eixo maior horizontal de comprimento 8 e eixo menor de comprimento 6.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a equação reduzida da elipse que satisfaz as condições dadas.
Informações fornecidas (tiradas diretamente do enunciado):
  • Centro em (0,0).
  • Eixo maior horizontal de comprimento 8.
  • Eixo menor de comprimento 6.
Pergunta a responder:
  • Qual é a equação reduzida (forma padrão) da elipse com essas propriedades?

Passo 2

Vamos lembrar a forma padrão da elipse centrada na origem cujo eixo maior é horizontal. A equação reduzida é
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
onde:
  • a é o semi-eixo maior (distância do centro a cada vértice ao longo do eixo maior),
  • b é o semi-eixo menor (distância do centro a cada co-vértice ao longo do eixo menor),
    e assumimos a>b>0 quando o eixo maior é horizontal (por isso o denominador a^{2} fica sob x^{2}).
    Explicando de forma bem direta: o “comprimento do eixo maior” é o comprimento total de ponta a ponta, então a relação entre comprimento do eixo maior e a é
a=\frac{\text{comprimento do eixo maior}}{2},
e de forma análoga para b:
b=\frac{\text{comprimento do eixo menor}}{2}.

Passo 3

Aplicando as fórmulas às medidas dadas:
a=\frac{8}{2}=4, \qquad b=\frac{6}{2}=3.
Aqui foi usado somente a definição de semi-eixo (metade do comprimento do eixo).

Passo 4

Agora substituímos a e b na forma padrão:
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{x^{2}}{4^{2}}+\frac{y^{2}}{3^{2}}=1.
Simplificando as potências:
\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1.

Passo 5

Um pouco de interpretação prática (útil na prova): os vértices e co-vértices são
\text{vértices: }(\pm a,0)=(\pm 4,0), \qquad \text{co-vértices: }(0,\pm b)=(0,\pm 3).éé
Verificação rápida: colocando x=4,y=0 na equação dá \dfrac{16}{16}+0=1, portanto o ponto está na elipse — checagem simples que pode salvar em prova.

Passo 6

Informações extras que costumam cair em questões relacionadas (não pedidas, mas úteis):
  • Distância focal c satisfaz \,c^{2}=a^{2}-b^{2}. Aqui
c^{2}=16-9=7\quad\Rightarrow\quad c=\sqrt{7}.
  • Focos: (\pm\sqrt{7},0).
  • Excentricidade: e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{7}}{4}\approx 0,66.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1

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