Determine a equação reduzida da elipse, satisfazendo a propriedade dada:
Centro
, eixo maior horizontal de comprimento 8 e eixo menor de comprimento 6.
Centro
Passo 1
O enunciado pede: determinar a equação reduzida da elipse que satisfaz as condições dadas.
Informações fornecidas (tiradas diretamente do enunciado):
- Centro em
. - Eixo maior horizontal de comprimento
. - Eixo menor de comprimento
.
Pergunta a responder:
- Qual é a equação reduzida (forma padrão) da elipse com essas propriedades?
Passo 2
Vamos lembrar a forma padrão da elipse centrada na origem cujo eixo maior é horizontal. A equação reduzida é
onde:
-
é o semi-eixo maior (distância do centro a cada vértice ao longo do eixo maior), -
é o semi-eixo menor (distância do centro a cada co-vértice ao longo do eixo menor),
e assumimosquando o eixo maior é horizontal (por isso o denominador fica sob ).
Explicando de forma bem direta: o “comprimento do eixo maior” é o comprimento total de ponta a ponta, então a relação entre comprimento do eixo maior eé
e de forma análoga para
:
Passo 3
Aplicando as fórmulas às medidas dadas:
Aqui foi usado somente a definição de semi-eixo (metade do comprimento do eixo).
Passo 4
Agora substituímos
e
na forma padrão:
Simplificando as potências:
Passo 5
Um pouco de interpretação prática (útil na prova): os vértices e co-vértices são
Verificação rápida: colocando
na equação dá
, portanto o ponto está na elipse — checagem simples que pode salvar em prova.
Passo 6
Informações extras que costumam cair em questões relacionadas (não pedidas, mas úteis):
- Distância focal
satisfaz . Aqui
- Focos:
. - Excentricidade:
.