Determine a equação reduzida da elipse, satisfazendo a propriedade dada:
Os pontos limitantes dos eixos maior e menor são, respectivamente, (3,1),(9,1) e (6,-1),(6,3).

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos que são extremos dos eixos da elipse:
  • Pontos extremos do eixo maior: (3,1) e (9,1).
  • Pontos extremos do eixo menor: (6,-1) e (6,3).
O que é pedido: determinar a equação reduzida (forma padrão) da elipse que tem esses pontos como extremos dos eixos.
Vou listar explicitamente as informações relevantes que vou usar:
  • Os dois extremos do eixo maior têm mesma coordenada y=1 e x variando entre 3 e 9.
  • Os dois extremos do eixo menor têm mesma coordenada x=6 e y variando entre -1 e 3.

Passo 2

Encontrar o centro da elipse (ponto médio entre os extremos de qualquer eixo).
Fórmula do ponto médio entre (x_1,y_1) e (x_2,y_2):
\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right).
Centro usando os extremos do eixo maior (3,1) e (9,1):
\left(\frac{3+9}{2},\frac{1+1}{2}\right)=\left(\frac{12}{2},\frac{2}{2}\right)=(6,1).
Verificação rápida com o eixo menor (6,-1) e (6,3):
\left(\frac{6+6}{2},\frac{-1+3}{2}\right)=(6,1),
logo ambos os eixos têm o mesmo ponto médio, confirmando que o centro é (6,1).

Passo 3

Determinar a orientação dos eixos (se o eixo maior é horizontal ou vertical).
Observação:
  • Os extremos do eixo maior têm a mesma coordenada y ( y=1), ou seja, variam em x — isso indica que o eixo maior é horizontal.
  • Os extremos do eixo menor têm a mesma coordenada x ( x=6) — isso indica que o eixo menor é vertical.
Portanto a elipse tem eixo maior horizontal e eixo menor vertical, centrada em (6,1).

Passo 4

Calcular os semi-eixos a (semi-eixo maior) e b (semi-eixo menor).
Para extremos alinhados com os eixos, o comprimento do eixo é a diferença entre as coordenadas que mudam; o semi-eixo é metade dessa diferença.
Comprimento do eixo maior: distância entre (3,1) e (9,1) é |9-3|=6. Então
a=\frac{6}{2}=3.
Comprimento do eixo menor: distância entre (6,-1) e (6,3) é |3-(-1)|=4. Então
b=\frac{4}{2}=2.

Passo 5

Escrever a forma padrão (equação reduzida) da elipse com centro (h,k), semi-eixos a (horizontal) e b (vertical).
Forma padrão para elipse com eixo maior horizontal:
\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1,
onde:
  • (h,k) é o centro da elipse,
  • a é o semi-eixo maior (distância do centro a um extremo do eixo maior),
  • b é o semi-eixo menor (distância do centro a um extremo do eixo menor).

Passo 6

Substituir os valores h=6, k=1, a=3, b=2 na forma padrão:
\frac{(x-6)^2}{3^2}+\frac{(y-1)^2}{2^2}=1,
ou seja
\frac{(x-6)^2}{9}+\frac{(y-1)^2}{4}=1.

Passo 7

Verificação rápida: checar que os quatro pontos dados satisfazem a equação.
Para (3,1):
\frac{(3-6)^2}{9}+\frac{(1-1)^2}{4}=\frac{(-3)^2}{9}+0=\frac{9}{9}=1.
Para (9,1):
\frac{(9-6)^2}{9}+\frac{(1-1)^2}{4}=\frac{3^2}{9}+0=1.
Para (6,-1):
\frac{(6-6)^2}{9}+\frac{(-1-1)^2}{4}=0+\frac{(-2)^2}{4}=\frac{4}{4}=1.
Para (6,3):
\frac{(6-6)^2}{9}+\frac{(3-1)^2}{4}=0+\frac{2^2}{4}=1.
Todos os pontos satisfazem a equação, portanto está correta.

Passo 8

Comentário adicional útil para prova (opcional): se precisar dos focos, calcula-se c com
c^2=a^2-b^2.
Aqui
c^2=9-4=5,\quad c=\sqrt{5},
logo os focos são \bigl(6\pm\sqrt{5},\,1\bigr). (Não era pedido, mas é bom saber.)

Resposta

\frac{(x-6)^2}{9}+\frac{(y-1)^2}{4}=1

Exercícios relacionados