Determine a equação reduzida da elipse, satisfazendo a propriedade dada:
Os pontos limitantes dos eixos maior e menor são, respectivamente,
e
.
Os pontos limitantes dos eixos maior e menor são, respectivamente,
Passo 1
O enunciado dá quatro pontos que são extremos dos eixos da elipse:
- Pontos extremos do eixo maior:
e . - Pontos extremos do eixo menor:
e .
O que é pedido: determinar a equação reduzida (forma padrão) da elipse que tem esses pontos como extremos dos eixos.
Vou listar explicitamente as informações relevantes que vou usar:
- Os dois extremos do eixo maior têm mesma coordenada
e variando entre e . - Os dois extremos do eixo menor têm mesma coordenada
e variando entre e .
Passo 2
Encontrar o centro da elipse (ponto médio entre os extremos de qualquer eixo).
Fórmula do ponto médio entre
e
:
Centro usando os extremos do eixo maior
e
:
Verificação rápida com o eixo menor
e
:
logo ambos os eixos têm o mesmo ponto médio, confirmando que o centro é
.
Passo 3
Determinar a orientação dos eixos (se o eixo maior é horizontal ou vertical).
Observação:
- Os extremos do eixo maior têm a mesma coordenada
( ), ou seja, variam em — isso indica que o eixo maior é horizontal. - Os extremos do eixo menor têm a mesma coordenada
( ) — isso indica que o eixo menor é vertical.
Portanto a elipse tem eixo maior horizontal e eixo menor vertical, centrada em
.
Passo 4
Calcular os semi-eixos
(semi-eixo maior) e
(semi-eixo menor).
Para extremos alinhados com os eixos, o comprimento do eixo é a diferença entre as coordenadas que mudam; o semi-eixo é metade dessa diferença.
Comprimento do eixo maior: distância entre
e
é
. Então
Comprimento do eixo menor: distância entre
e
é
. Então
Passo 5
Escrever a forma padrão (equação reduzida) da elipse com centro
, semi-eixos
(horizontal) e
(vertical).
Forma padrão para elipse com eixo maior horizontal:
onde:
-
é o centro da elipse, -
é o semi-eixo maior (distância do centro a um extremo do eixo maior), -
é o semi-eixo menor (distância do centro a um extremo do eixo menor).
Passo 6
Substituir os valores
,
,
,
na forma padrão:
ou seja
Passo 7
Verificação rápida: checar que os quatro pontos dados satisfazem a equação.
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Todos os pontos satisfazem a equação, portanto está correta.
Passo 8
Comentário adicional útil para prova (opcional): se precisar dos focos, calcula-se
com
Aqui
logo os focos são
. (Não era pedido, mas é bom saber.)