Esboce o gráfico das elipses:
\frac{(x-1)^{2}}{9}+\frac{(y+2)^{2}}{4}=1

Passo 1

O enunciado dá a equação da elipse
\frac{(x-1)^{2}}{9}+\frac{(y+2)^{2}}{4}=1
e pede que seja esboçado o seu gráfico. Informações extraídas da equação que são relevantes:
  • O centro da elipse aparece como (1,-2).
  • Os denominadores são 9 e 4, que indicam os quadrados dos semi-eixos.
  • A elipse está escrita na forma canônica centrada em (h,k):
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1.

Passo 2

Entendendo a forma canônica e o que cada símbolo significa (aula rápida, mas objetiva).
  • Na forma \dfrac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\dfrac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1:
    • (h,k) é o centro da elipse.
    • a e b são os semi-eixos; a corresponde à raiz quadrada do maior dos denominadores se a elipse estiver com o eixo maior na direção x, ou ao contrário se o maior denominador estiver com y.
    • Se a^{2}>b^{2} então o eixo maior é horizontal (direção x). Se b^{2}>a^{2} o eixo maior é vertical (direção y).
    • Vértices (os pontos extremos ao longo do eixo maior): (h\pm a,\,k) se o eixo maior for horizontal; ou (h,\,k\pm a) se for vertical.
    • Co-vértices (extremos do eixo menor): (h,\,k\pm b) ou (h\pm b,\,k) conforme a orientação.
    • Distância focal: c satisfaz c^{2}=a^{2}-b^{2} (quando a é o semi-eixo maior). As focais ficam em (h\pm c,\,k) ou (h,\,k\pm c).
    • Uma forma paramétrica útil para desenhar é x=h+a\cos t,\qquad y=k+b\sin t,\quad t\in[0,2\pi].

Passo 3

Aplicando a teoria aos números do enunciado (contas passo a passo).
  • Identifico a^{2}=9 e b^{2}=4. Então a=\sqrt{9}=3,\qquad b=\sqrt{4}=2.
  • Como a^{2}=9>4=b^{2}, o eixo maior é horizontal.
  • Centro: já extraído em Passo 1, (h,k)=(1,-2).

Passo 4

Calcular vértices, co-vértices e caixa auxiliar (para esboço).
  • Vértices (extremos ao longo do eixo maior, horizontal): (h\pm a,\,k)=(1\pm3,\,-2),ou seja os pontos (-2,-2) e (4,-2).
  • Co-vértices (extremos do eixo menor, vertical): (h,\,k\pm b)=(1,\,-2\pm2),ou seja os pontos (1,0) e (1,-4).
  • Caixa auxiliar (retângulo cujos lados tocam a elipse nos vértices e co-vértices): cantos em (1\pm3,\,-2\pm2),isto é os pontos (-2,0),\;(-2,-4),\;(4,0),\;(4,-4).
    Desenhar essa caixa ajuda bastante no esboço: a elipse é a curva suave que tangencia os lados médios da caixa.

Passo 5

Calcular focos e excentricidade (informação útil para entender a forma).
  • Distância focal c satisfaz c^{2}=a^{2}-b^{2}=9-4=5,então c=\sqrt{5}\approx2,236.
  • Como o eixo maior é horizontal, os focos são (h\pm c,\,k)=\bigl(1\pm\sqrt{5},\,-2\bigr).
  • Excentricidade e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}\approx0,745.

Passo 6

Forma paramétrica e pontos chave para plotar (para fazer à mão, sem calculadora).
  • Paramétrica: x=1+3\cos t,\qquad y=-2+2\sin t,\quad t\in[0,2\pi].
  • Pontos fáceis obtidos com t=0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2}:
    • t=0: (x,y)=(1+3,\, -2)=(4,-2) (vértice direito).
    • t=\tfrac{\pi}{2}: (x,y)=(1,\, -2+2)=(1,0) (co-vértice superior).
    • t=\pi: (x,y)=(1-3,\, -2)=(-2,-2) (vértice esquerdo).
    • t=\tfrac{3\pi}{2}: (x,y)=(1,\, -2-2)=(1,-4) (co-vértice inferior).
  • Se quiser mais pontos para acertar a curvatura, escolher t=\tfrac{\pi}{4} e t=\tfrac{3\pi}{4} dá pontos intermediários: por exemplo para t=\tfrac{\pi}{4}, x=1+3\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\approx1+2{,}121=3{,}121,\qquad y=-2+2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\approx-2+1{,}414=-0{,}586.

Passo 7

Receita prática de esboço (passo a passo para você desenhar rápido na prova).
  1. Marque o centro em (1,-2).
  2. Desenhe a caixa auxiliar com cantos em (-2,0),\;(-2,-4),\;(4,0),\;(4,-4).
  3. Marque os vértices (-2,-2) e (4,-2) e os co-vértices (1,0) e (1,-4).
  4. Ligue suavemente esses pontos desenhando uma curva oval que tangencia os lados médios da caixa — essa é a elipse.
  5. Se quiser maior precisão, marque também os focos \bigl(1\pm\sqrt{5},-2\bigr) próximos ao centro sobre o eixo horizontal e alguns pontos extras usando a paramétrica.
  6. Parabéns — você tem o esboço! Você consegue terminar rápido na prova usando essa caixa + vértices + co-vértices.

Resposta

Centro: (1,-2)
Semi-eixos: a=3 (horizontal), b=2 (vertical)
Vértices: (-2,-2) e (4,-2)
Co-vértices: (1,0) e (1,-4)
Focos: \bigl(1\pm\sqrt{5},\,-2\bigr)
Equação paramétrica: \;x=1+3\cos t,\;y=-2+2\sin t,\;t\in[0,2\pi]

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