Esboce o gráfico das elipses:
Passo 1
O enunciado dá a equação da elipse
e pede que seja esboçado o seu gráfico. Informações extraídas da equação que são relevantes:
- O centro da elipse aparece como
. - Os denominadores são
e , que indicam os quadrados dos semi-eixos. - A elipse está escrita na forma canônica centrada em
:
Passo 2
Entendendo a forma canônica e o que cada símbolo significa (aula rápida, mas objetiva).
- Na forma
: -
é o centro da elipse. -
e são os semi-eixos; corresponde à raiz quadrada do maior dos denominadores se a elipse estiver com o eixo maior na direção , ou ao contrário se o maior denominador estiver com . - Se
então o eixo maior é horizontal (direção ). Se o eixo maior é vertical (direção ). - Vértices (os pontos extremos ao longo do eixo maior):
se o eixo maior for horizontal; ou se for vertical. - Co-vértices (extremos do eixo menor):
ou conforme a orientação. - Distância focal:
satisfaz (quando é o semi-eixo maior). As focais ficam em ou . - Uma forma paramétrica útil para desenhar é
-
Passo 3
Aplicando a teoria aos números do enunciado (contas passo a passo).
- Identifico
e . Então - Como
, o eixo maior é horizontal. - Centro: já extraído em Passo 1,
.
Passo 4
Calcular vértices, co-vértices e caixa auxiliar (para esboço).
- Vértices (extremos ao longo do eixo maior, horizontal):
ou seja os pontos e . - Co-vértices (extremos do eixo menor, vertical):
ou seja os pontos e . - Caixa auxiliar (retângulo cujos lados tocam a elipse nos vértices e co-vértices): cantos em
isto é os pontos .
Desenhar essa caixa ajuda bastante no esboço: a elipse é a curva suave que tangencia os lados médios da caixa.
Passo 5
Calcular focos e excentricidade (informação útil para entender a forma).
- Distância focal
satisfaz então - Como o eixo maior é horizontal, os focos são
- Excentricidade
Passo 6
Forma paramétrica e pontos chave para plotar (para fazer à mão, sem calculadora).
- Paramétrica:
- Pontos fáceis obtidos com
: -
: (vértice direito). -
: (co-vértice superior). -
: (vértice esquerdo). -
: (co-vértice inferior).
-
- Se quiser mais pontos para acertar a curvatura, escolher
e dá pontos intermediários: por exemplo para ,
Passo 7
Receita prática de esboço (passo a passo para você desenhar rápido na prova).
- Marque o centro em
. - Desenhe a caixa auxiliar com cantos em
. - Marque os vértices
e e os co-vértices e . - Ligue suavemente esses pontos desenhando uma curva oval que tangencia os lados médios da caixa — essa é a elipse.
- Se quiser maior precisão, marque também os focos
próximos ao centro sobre o eixo horizontal e alguns pontos extras usando a paramétrica. - Parabéns — você tem o esboço! Você consegue terminar rápido na prova usando essa caixa + vértices + co-vértices.
Resposta
Centro:
Semi-eixos: (horizontal),
(vertical)
Vértices: e
Co-vértices: e
Focos:
Equação paramétrica:
Semi-eixos:
Vértices:
Co-vértices:
Focos:
Equação paramétrica: