Esboce o gráfico das equações polares. Determine o menor intervalo de
para produzir o gráfico completamente.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da curva polar
e o menor intervalo de
que gera o gráfico completo.
Conteúdo abordado: curvas em coordenadas polares, identificação de formas clássicas e uso de periodicidade e simetria de funções trigonométricas.
Conteúdo abordado: curvas em coordenadas polares, identificação de formas clássicas e uso de periodicidade e simetria de funções trigonométricas.
Passo 2
Verificamos a periodicidade e a simetria de
.
- A função
é -periódica, logo
- Como
, temos
ou seja, a curva é simétrica em relação ao eixo polar (eixo
).
Passo 3
Determinamos alguns pontos notáveis para orientar o esboço:
Em
:
ponto
.
Em
:
ponto em
-positivo de distância
.
Em
:
cuspe (cusp) no polo.
Em
:
ponto em
-negativo de distância
.
Em
: retorna a
, fechando o laço.
Passo 4
A partir desses pontos e da variação suave de
, esboçamos um cardioide com cúspide no polo para
, simétrico ao longo do eixo horizontal, atingindo raio máximo
em
e
e raio mínimo
em
.
Passo 5
Como o período fundamental de
é
e em um ciclo completo a curva é totalmente percorrida uma única vez, basta escolher um intervalo de comprimento
. O mais comum e direto é
Resposta
O gráfico é um cardioide com cúspide no polo, simétrico ao eixo
, e o menor intervalo que gera-o completamente é