Esboce o gráfico das equações polares. Determine o menor intervalo de theta para produzir o gráfico completamente.
r=1+cos (theta)

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da curva polar
r = 1 + cos(theta)
e o menor intervalo de theta que gera o gráfico completo.
Conteúdo abordado: curvas em coordenadas polares, identificação de formas clássicas e uso de periodicidade e simetria de funções trigonométricas.

Passo 2

Verificamos a periodicidade e a simetria de r(theta)=1+cos(theta).
  1. A função cos(theta) é 2pi-periódica, logo
r(theta+2pi)=1+cos(theta+2pi)=1+cos(theta)=r(theta)
  1. Como cos(-theta)=cos(theta), temos
r(-theta)=1+cos(-theta)=1+cos(theta)=r(theta),
ou seja, a curva é simétrica em relação ao eixo polar (eixo x).

Passo 3

Determinamos alguns pontos notáveis para orientar o esboço:
bul<=t Em theta=0:
r(0)=1+cos(0)=1+1=2,
ponto (r,theta)=(2,0).
bul<=t Em theta=tfracpi2:
rl(tfracpi2r)=1+cosl(tfracpi2r)=1+0=1,
ponto em y-positivo de distância 1.
bul<=t Em theta=pi:
r(pi)=1+cos(pi)=1-1=0,
cuspe (cusp) no polo.
bul<=t Em theta=tfrac3pi2:
rl(tfrac3pi2r)=1+cosl(tfrac3pi2r)=1+0=1,
ponto em y-negativo de distância 1.
bul<=t Em theta=2pi: retorna a r(2pi)=2, fechando o laço.

Passo 4

A partir desses pontos e da variação suave de cos(theta), esboçamos um cardioide com cúspide no polo para theta=pi, simétrico ao longo do eixo horizontal, atingindo raio máximo 2 em theta=0 e theta=2pi e raio mínimo 0 em theta=pi.

Passo 5

Como o período fundamental de r(theta) é 2pi e em um ciclo completo a curva é totalmente percorrida uma única vez, basta escolher um intervalo de comprimento 2pi. O mais comum e direto é
0 <= theta <= 2pi

Resposta

O gráfico é um cardioide com cúspide no polo, simétrico ao eixo x, e o menor intervalo que gera-o completamente é
0 <= theta <= 2pi

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