Questão 4. Usando o teste da comparação, ou comparação por limites, estude a convergência das séries a seguir:
sum 2n^3+4

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty2n^3+4
usando o teste de comparação (direta ou por limites). Aqui estamos lidando com séries de termos positivos e sabemos que séries do tipo “ p-série”
sumn=1^infty1n^p
convergem se, e só se, p>1.

Passo 2

Para usar o teste de comparação direta, observamos que, para todo n>=1,
n^3+4;>=;n^3 Longrightarrow 2n^3+4;<=;2n^3
Então comparamos nossa série com
sumn=1^infty2n^3 =2sumn=1^infty1n^3
Como aqui temos uma p-série com p=3>1, sabemos que
sumn=1^infty1n^3
converge, e portanto também converge
2sumn=1^infty1n^3

Passo 3

Visto que 2n^3+4 é um termo positivo sempre menor ou igual ao termo correspondente de uma série convergente, pelo teste de comparação direta concluímos que
sumn=1^infty2n^3+4
também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty2n^3+4 converge por comparação direta com a p-série de parâmetro p=3.

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