Questão 4. Usando o teste da comparação, ou comparação por limites, estude a convergência das séries a seguir:
sum 52+3^n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty 52+3^n
usando o teste da comparação (direta ou por limites). O conteúdo aqui é séries de termos positivos e comparação com séries geométricas.

Passo 2

Observamos que, para todo n>=1,
2+3^n >= 3^n Longrightarrow 0 <= 52+3^n <= 53^n
A série
sumn=1^infty 53^n
é uma série geométrica de razão r=tfrac13, que satisfaz |r|<1 e portanto converge.

Passo 3

Pelo teste da comparação direta, como 0<= an<= bn e sum bn converge, segue que
sumn=1^infty 52+3^n
também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 52+3^n converge.

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