Esboce o gráfico das equações polares. Determine o menor intervalo de theta para produzir o gráfico completamente.
r=2 sen(theta)+2 cos (theta)

Passo 1

O enunciado dá a equação polar
r = 2sin(theta) + 2cos(theta)
e pede (a) o esboço do gráfico e (b) o menor intervalo de theta que o gera completamente. Vamos usar (i) conversão para coordenadas cartesianas para identificar a curva e (ii) forma senoidal para achar o intervalo mínimo.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por r e usamos r^2 = x^2 + y^2, rcostheta = x, rsintheta = y:
r^2 = 2rsintheta + 2rcostheta Longrightarrow x^2 + y^2 = 2y + 2x
Agora completamos quadrados em x e y:
x^2 - 2x + y^2 - 2y = 0 Longrightarrow (x-1)^2 -1 + (y-1)^2 -1 = 0 Longrightarrow (x-1)^2 + (y-1)^2 = 2
Logo é uma circunferência de centro (1,1) e raio raiz2.

Passo 3

Para encontrar o intervalo de theta, escrevemos
r = 2l(sintheta + costhetar) = 2raiz2,sintheta + costhetaraiz2 = 2raiz2,sinl(theta + tfracpi4r)

Passo 4

Para que r>=0 (e portanto a curva seja traçada sem usar pontos “de sinal invertido”), precisamos de
sinl(theta + tfracpi4r)>=0 Longrightarrow theta + tfracpi4in[0,pi] Longrightarrow thetainl[-tfracpi4,,tfrac3pi4r]
Nesse intervalo de comprimento pi a circunferência é percorrida uma única vez, partindo e retornando à origem quando r=0.

Resposta

O gráfico é a circunferência de centro (1,1) e raio raiz2.
O menor intervalo de theta que traça todo o gráfico sem repetição é
theta in l[-tfracpi4,,tfrac3pi4r]

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