Esboce o gráfico das equações polares. Determine o menor intervalo de theta para produzir o gráfico completamente.
theta=pi / 6

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva em coordenadas polares dada por
theta = pi/6.
O conteúdo aqui é identificação de curvas polares e, para entender sua forma, vamos usar a conversão para coordenadas cartesianas
(x,y) = (rcostheta,;rsintheta).

Passo 2

Para theta = pi/6 fixo temos
x = rcosl(pi/6r), y = rsinl(pi/6r)
Como cos(pi/6)=raiz3/2 e sin(pi/6)=1/2, dividindo essas expressões obtemos
y = sin(pi/6)cos(pi/6),x = 1/2raiz3/2,x = 1raiz3,x
Em coordenadas polares normalmente adotamos r>=0, então o gráfico é a semirreta que parte da origem e se estende ao longo da reta
y = 1raiz3,x
no sentido de r crescente, formando um ângulo de 30^circ com o eixo x.

Passo 3

Como a curva é obtida para um único valor de theta, não há variação de ângulo: basta “varrer” exatamente theta=pi/6.
Portanto, o menor intervalo de theta que gera toda a curva é o próprio ponto
theta=pi/6,
ou, em notação de intervalo, [pi/6,pi/6].

Resposta

O gráfico é a semirreta que parte da origem com ângulo pi/6 (reta y=x/raiz3, r>=0), e o menor intervalo de theta que produz a curva completamente é
theta=pi/6 (ou [pi/6,pi/6])

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