Encontre o limite ou demonstre que não existe.
22. \lim _{u \rightarrow-\infty} \frac{\left(u^{2}+1\right)\left(2 u^{2}-1\right)}{\left(u^{2}+2\right)^{2}}\

Passo 1

O enunciado nos dá o limite
\lim_{u\rightarrow -\infty}\frac{(u^{2}+1)(2u^{2}-1)}{(u^{2}+2)^{2}}.
É um caso de limite no infinito de quociente de polinômios. Como o numerador e o denominador são de grau 4, basta comparar os coeficientes dos termos de maior grau ou então fatorar u^{4}.

Passo 2

Fatoramos u^{4} no numerador e no denominador:
\frac{(u^{2}+1)(2u^{2}-1)}{(u^{2}+2)^{2}} = \frac{u^{4}\bigl(1+u^{-2}\bigr)\bigl(2 - u^{-2}\bigr)}{u^{4}\bigl(1+2u^{-2}\bigr)^{2}}.
Cancelamos u^{4}, pois para u\neq 0 esse fator não anula o quociente.

Passo 3

Agora avaliamos o limite, lembrando que quando u\to -\infty temos u^{-2}\to 0:
\lim_{u\rightarrow -\infty}\frac{(1+u^{-2})(2 - u^{-2})}{(1+2u^{-2})^{2}} = \frac{1\cdot 2}{1^{2}} = 2.

Resposta

2

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