Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas. \lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=2, \quad \lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=2, \quad f(1)=2.
Passo 1
O enunciado pede que a gente crie (e esboce) um exemplo de função f que satisfaça as três condições seguintes:
As duas limites laterais em x=1 devem existir e valer 2.
O valor da função em x=1 deve ser exatamente 2.
Não há restrições sobre o comportamento da função para x\neq1 além das que garantam esses limites e esse valor em 1.
O que se pede: fornecer um exemplo concreto de função que obedeça às três condições e explicar/mostrar como esboçar o gráfico dessa função.
Passo 2
Vou definir uma função explícita que é fácil de analisar e que tem comportamento interessante perto de x=1\). Defino
\[f(x)= \begin{cases} 2+(x-1)\sin\!\left(\dfrac{1}{x-1}\right), & x\neq1,\\[6pt] 2, & x=1. \end{cases}
Agora explico por que essa escolha funciona. A ideia é: a parte (x-1)\sin\!\big(\tfrac{1}{x-1}\big)\] oscila (por causa do \(\sin), mas sua amplitude é controlada pelo fator multiplicativo (x-1), que tende a 0 quando x\to1. Portanto as oscilações “morrem” ao nos aproximarmos de 1, e somando 2 obtemos limites iguais a 2.]
Passo 3
Prova rigorosa (passo a passo) de que \lim_{x\to1} f(x)=2 (o que implica as duas limites laterais iguais a 2), usando uma desigualdade simples:
Para todo t real vale |\sin t|\le 1. Substituindo t=\dfrac{1}{x-1} (para x\neq1) obtemos
Isto dá \lim_{x\to1^-} f(x)=2 e \lim_{x\to1^+} f(x)=2.
Passo 4
Verificação de f(1)=2: por definição da função, f(1)=2. Como o limite em 1 é 2 (Passo 3) e o valor da função em 1 também é 2, a função é contínua em x=1. Isso satisfaz exatamente as três condições do enunciado.
Passo 5
Como esboçar o gráfico dessa função (passo a passo, do jeito que você pode desenhar à mão na prova):
Desenhe os eixos e marque o ponto x=1 no eixo x e a altura y=2 no eixo y.
Marque com um ponto cheio (1,2) porque f(1)=2.
Para x próximo de 1 (por exemplo x=1\pm 0{,}1), a expressão (x-1)\sin\!\big(\tfrac{1}{x-1}\big) tem amplitude aproximadamente |x-1|. Assim em x=1{,}1 a função oscila entre 1{,}9 e 2{,}1, em x=1{,}01 oscila entre 1{,}99 e 2{,}01, etc. Ou seja, à medida que você se aproxima de 1 as oscilações ficam cada vez menores.
Além disso, como o argumento do seno é \tfrac{1}{x-1}, as oscilações ficam mais rápidas (mais “apertadas”) quando x se aproxima de 1. Portanto, perto de x=1 desenhe muitas ondulações, com amplitude decrescente até desaparecer no ponto (1,2).
Para x mais afastado de 1 a amplitude |x-1| cresce, então as ondulações podem ficar maiores (é só um exemplo: você pode também escolher a mesma função truncada para se tornar constante longe de 1, se preferir um esboço mais simples).
Conclusão visual: o gráfico tem muitas oscilações que se acumulam em x=1, e todas convergem para o ponto (1,2). Não há salto nem buraco em x=1.
Passo 6
Observações didáticas rápidas para a prova (o que anotar se pedirem uma justificativa curta):
Escreva a função explicitamente (como eu dei).
Use a desigualdade \left|(x-1)\sin\!\big(\tfrac{1}{x-1}\big)\right|\le |x-1| e o teorema do confronto para concluir que o termo oscilante tende a 0.
Conclua que as duas limites laterais valem 2 e que f(1)=2 por definição, portanto todas as condições do enunciado estão satisfeitas.