Exercício 2. Mostre que qualquer conjunto finito
é fechado.
Passo 1
O enunciado dá um conjunto finito
e pede para mostrar que esse conjunto é fechado.\n
Informações relevantes do enunciado:
Informações relevantes do enunciado:
-
é finito, ou seja, contém um número finito de elementos (por exemplo para algum ).\n
O que precisa ser provado: - Mostrar que
é um conjunto fechado (ou seja, verificar a definição de conjunto fechado e provar que satisfaz essa definição).
Passo 2
Definição que vamos usar: um conjunto
é fechado se o seu complementar
é aberto.
Um conjunto
é aberto se, para todo ponto
, existe um raio
tal que o intervalo aberto
está contido em
. Em palavras: ao redor de qualquer ponto de
podemos colocar uma pequena “bolha” (intervalo) que ainda fica inteiramente dentro de
.
Passo 3
Estratégia: provar que o complementar de
é aberto. Para cada
construiremos um intervalo aberto centrado em
que não toca
. Escolhi esse método porque é elementar, exige apenas a ideia de distância e a propriedade de conjuntos finitos de terem mínimo em um conjunto finito de números positivos.
Passo 4
Tomemos um ponto qualquer
(ou seja,
não pertence a
). Para cada elemento
a distância entre
e
é
. Como
, todas essas distâncias são estritamente positivas: para todo
temos
.
Agora consideramos o conjunto finito de números positivos
Como esse conjunto é finito e todos os seus elementos são maiores que zero, ele tem um mínimo positivo. Definimos
Note que
por construção.
Passo 5
Escolhemos o raio
. Esse
é positivo. Vou mostrar que o intervalo
não intersecta
, isto é,
Suponha, por contradição, que exista
tal que
. Então
. Mas pela definição de
sabemos que
. Assim teríamos
, o que é impossível porque
não pode acontecer para
. Portanto não existe tal
, logo
.
Passo 6
Concluímos que para cada
existe um
(escolhido como acima) tal que o intervalo
está contido em
. Isso mostra exatamente que
é um conjunto aberto.
Como o complementar de
é aberto, pela definição
é fechado. Essa prova usou apenas a finitude de
para garantir que o mínimo das distâncias existe e é positivo; esse é o ponto chave — em conjuntos infinitos pode acontecer que não haja distância mínima positiva a um ponto fora do conjunto.
Passo 7
Comentário extra: outra maneira comum é observar que cada singleton
é fechado (mesma técnica: para
existe um intervalo em torno de
que não contém
), e então usar que uma união finita de conjuntos fechados é fechada. Ambos os argumentos são equivalentes e valem para
.
Resposta
O conjunto
é fechado.