Exercício 2. Mostre que qualquer conjunto finito F \subset \mathbb{R} é fechado.

Passo 1

O enunciado dá um conjunto finito F \subset \mathbb{R} e pede para mostrar que esse conjunto é fechado.\n
Informações relevantes do enunciado:
  • F é finito, ou seja, contém um número finito de elementos (por exemplo F=\{a_1,a_2,\dots,a_n\} para algum n\in\mathbb{N}).\n
    O que precisa ser provado:
  • Mostrar que F é um conjunto fechado (ou seja, verificar a definição de conjunto fechado e provar que F satisfaz essa definição).

Passo 2

Definição que vamos usar: um conjunto A\subset\mathbb{R} é fechado se o seu complementar \mathbb{R}\setminus A é aberto.
Um conjunto U\subset\mathbb{R} é aberto se, para todo ponto x\in U, existe um raio r>0 tal que o intervalo aberto (x-r,x+r) está contido em U. Em palavras: ao redor de qualquer ponto de U podemos colocar uma pequena “bolha” (intervalo) que ainda fica inteiramente dentro de U.

Passo 3

Estratégia: provar que o complementar de F é aberto. Para cada x\notin F construiremos um intervalo aberto centrado em x que não toca F. Escolhi esse método porque é elementar, exige apenas a ideia de distância e a propriedade de conjuntos finitos de terem mínimo em um conjunto finito de números positivos.

Passo 4

Tomemos um ponto qualquer x\in \mathbb{R}\setminus F (ou seja, x não pertence a F). Para cada elemento a\in F a distância entre x e a é |x-a|. Como x\notin F, todas essas distâncias são estritamente positivas: para todo a\in F temos |x-a|>0.
Agora consideramos o conjunto finito de números positivos
\{|x-a| : a\in F\}.
Como esse conjunto é finito e todos os seus elementos são maiores que zero, ele tem um mínimo positivo. Definimos
d := \min_{a\in F} |x-a|.
Note que d>0 por construção.

Passo 5

Escolhemos o raio r := d/2. Esse r é positivo. Vou mostrar que o intervalo (x-r,x+r) não intersecta F, isto é,
(x-r,x+r)\cap F = \varnothing.
Suponha, por contradição, que exista a\in F tal que a\in(x-r,x+r). Então |x-a|<r. Mas pela definição de d sabemos que |x-a|\ge d. Assim teríamos d \le |x-a| < r = d/2, o que é impossível porque d\le d/2 não pode acontecer para d>0. Portanto não existe tal a, logo (x-r,x+r)\cap F=\varnothing.

Passo 6

Concluímos que para cada x\in \mathbb{R}\setminus F existe um r>0 (escolhido como acima) tal que o intervalo (x-r,x+r) está contido em \mathbb{R}\setminus F. Isso mostra exatamente que \mathbb{R}\setminus F é um conjunto aberto.
Como o complementar de F é aberto, pela definição F é fechado. Essa prova usou apenas a finitude de F para garantir que o mínimo das distâncias existe e é positivo; esse é o ponto chave — em conjuntos infinitos pode acontecer que não haja distância mínima positiva a um ponto fora do conjunto.

Passo 7

Comentário extra: outra maneira comum é observar que cada singleton \{a\} é fechado (mesma técnica: para x\ne a existe um intervalo em torno de x que não contém a), e então usar que uma união finita de conjuntos fechados é fechada. Ambos os argumentos são equivalentes e valem para \mathbb{R}.

Resposta

O conjunto F é fechado.

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