Exercício 5. Sejam
funções contínua. Use o exercício anterior para concluir que o conjunto
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Temos duas funções que são contínuas. Foi definido o conjunto
Temos duas funções
A tarefa é concluir (usar o exercício anterior) uma propriedade desse conjunto — ou seja, provar alguma afirmação sobre
. Neste exercício o objetivo é mostrar que o conjunto
é fechado.
Passo 2
Construir uma função que simplifique o problema.
Defina a função por
Defina a função
Expliquei por que isso ajuda:
exatamente quando
. Então podemos reescrever o conjunto
como o conjunto de zeros de
.
Passo 3
Mostrar que
é contínua.
Aqui usamos um fato básico sobre continuidade: se e
são contínuas, então a soma e a diferença delas também são contínuas. Vou lembrar por que, de maneira simples e direta: seja
. Como
e
são contínuas em
, para todo
existem
e
tais que, sempre que
temos
e sempre que
temos
. Tomando
obtemos, para
,
Aqui usamos um fato básico sobre continuidade: se
Isso mostra que
é contínua em
. Como
era arbitrário,
é contínua em todo
.
Passo 4
Relacionar
com a pré-imagem de um conjunto sob
.
Observando a definição de , temos
Observando a definição de
Aqui
significa o conjunto de todos os
tais que
pertence a
.
Passo 5
Usar o resultado do exercício anterior: pré-imagem de fechado por função contínua é fechado.
O exercício anterior (que você deve usar) afirma que se uma função é contínua então a pré-imagem de qualquer conjunto fechado é um conjunto fechado. Note também que é um conjunto fechado em
(por exemplo, seu complementar
é aberto). Como
é contínua (Passo 3) e
é fechado, pela propriedade do exercício anterior a pré-imagem
é fechada.
O exercício anterior (que você deve usar) afirma que se uma função é contínua então a pré-imagem de qualquer conjunto fechado é um conjunto fechado. Note também que
Passo 6
Concluir o argumento e interpretar concretamente.
Juntando os passos: e essa pré-imagem é fechada porque
é contínua e
é fechado. Portanto
é fechado. Em palavras: o conjunto dos pontos onde duas funções contínuas coincidem é sempre um conjunto fechado. Um exemplo simples para fixar a ideia: se
e
, então
e
, que de fato é fechado.
Juntando os passos: