Exercício 5. Sejam f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} funções contínua. Use o exercício anterior para concluir que o conjunto
C(f, g)=\{x \in \mathbb{R} ; f(x)=g(x)\}

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Temos duas funções f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} que são contínuas. Foi definido o conjunto
C(f,g)=\{x\in\mathbb{R}\;;\;f(x)=g(x)\}.
A tarefa é concluir (usar o exercício anterior) uma propriedade desse conjunto — ou seja, provar alguma afirmação sobre C(f,g). Neste exercício o objetivo é mostrar que o conjunto C(f,g) é fechado.

Passo 2

Construir uma função que simplifique o problema.
Defina a função h:\mathbb{R}\to\mathbb{R} por
h(x)=f(x)-g(x).
Expliquei por que isso ajuda: h(x)=0 exatamente quando f(x)=g(x). Então podemos reescrever o conjunto C(f,g) como o conjunto de zeros de h.

Passo 3

Mostrar que h é contínua.
Aqui usamos um fato básico sobre continuidade: se f e g são contínuas, então a soma e a diferença delas também são contínuas. Vou lembrar por que, de maneira simples e direta: seja a\in\mathbb{R}. Como f e g são contínuas em a, para todo \varepsilon>0 existem \delta_f>0 e \delta_g>0 tais que, sempre que |x-a|<\delta_f temos |f(x)-f(a)|<\varepsilon/2 e sempre que |x-a|<\delta_g temos |g(x)-g(a)|<\varepsilon/2. Tomando \delta=\min(\delta_f,\delta_g) obtemos, para |x-a|<\delta,
|h(x)-h(a)|=|f(x)-g(x)-[f(a)-g(a)]|\le |f(x)-f(a)|+|g(x)-g(a)|<\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon.
Isso mostra que h é contínua em a. Como a era arbitrário, h é contínua em todo \mathbb{R}.

Passo 4

Relacionar C(f,g) com a pré-imagem de um conjunto sob h.
Observando a definição de h, temos
C(f,g)=\{x\in\mathbb{R}\;;\;h(x)=0\}=h^{-1}(\{0\}).
Aqui h^{-1}(\{0\}) significa o conjunto de todos os x tais que h(x) pertence a \{0\}.

Passo 5

Usar o resultado do exercício anterior: pré-imagem de fechado por função contínua é fechado.
O exercício anterior (que você deve usar) afirma que se uma função é contínua então a pré-imagem de qualquer conjunto fechado é um conjunto fechado. Note também que \{0\} é um conjunto fechado em \mathbb{R} (por exemplo, seu complementar \mathbb{R}\setminus\{0\}=(-\infty,0)\cup(0,\infty) é aberto). Como h é contínua (Passo 3) e \{0\} é fechado, pela propriedade do exercício anterior a pré-imagem h^{-1}(\{0\}) é fechada.

Passo 6

Concluir o argumento e interpretar concretamente.
Juntando os passos: C(f,g)=h^{-1}(\{0\}) e essa pré-imagem é fechada porque h é contínua e \{0\} é fechado. Portanto C(f,g) é fechado. Em palavras: o conjunto dos pontos onde duas funções contínuas coincidem é sempre um conjunto fechado. Um exemplo simples para fixar a ideia: se f(x)=x^2 e g(x)=0, então h(x)=x^2 e C(f,g)=\{0\}, que de fato é fechado.

Resposta

C(f,g) é um subconjunto fechado de \mathbb{R}.

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