Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=+\infty, \lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=-\infty, \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=1, \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=1, \lim _{x \rightarrow 2} f(x)=-\infty, \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\infty

Passo 1

O enunciado pede que a gente esboce o gráfico de alguma função f que satisfaça as seguintes condições (vou listar todas elas claramente):
  • \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} f(x)=+\infty.
  • \displaystyle \lim_{x\to 0^{-}} f(x)=-\infty.
  • \displaystyle \lim_{x\to 2} f(x)=-\infty.
  • \displaystyle \lim_{x\to \infty} f(x)=1.
  • \displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x)=1.
O que é pedido: apresentar um exemplo de função f que tenha essas propriedades (e então esboçar o gráfico dessa função).

Passo 2

Estratégia (idéia construtiva, sem calcular ainda): para atender essas condições é natural construir f como soma de termos cujo comportamento local é controlado por componentes simples:
  • Para ter assíntota horizontal y=1 em \pm\infty basta escrever f(x)=1+g(x) com g(x)\to 0 quando |x|\to\infty.
  • Para obter \lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty e \lim_{x\to0^-}f(x)=-\infty precisamos de um termo que, perto de 0, se comporte como \dfrac{C}{x} com C>0. Esse termo diverge com sinais opostos dos dois lados.
  • Para conseguir \lim_{x\to2}f(x)=-\infty (mesmo sinal -\infty vindo dos dois lados), precisamos de um termo que tenda a -\infty independentemente do lado — por exemplo -\dfrac{D}{(x-2)^2} com D>0. Esse termo diverge negativamente ao quadrado do denominador, logo vai a -\infty pelas duas direções.
Portanto uma construção óbvia e simples é:
f(x)=1+\frac{A}{x}-\frac{B}{(x-2)^2},
com A,B>0. Agora escolhemos valores simples para A e B (por exemplo A=B=1) e verificamos.

Passo 3

Definimos a função exemplo:
f(x)=1+\frac{1}{x}-\frac{1}{(x-2)^2},\qquad x\neq 0,\\ x\neq 2.
Ela é definida sempre que x não é 0 nem 2, o que já cria as possíveis assíntotas verticais nesses pontos.

Passo 4

Verificação do comportamento em x=0.
Análise intuitiva: perto de x=0 o termo \dfrac{1}{x} domina porque \dfrac{1}{(x-2)^2} é aproximadamente \dfrac{1}{4} (um número finito). Então o sinal e a divergência perto de 0 vêm de \dfrac{1}{x}.
Cálculo dos limites:
\lim_{x\to 0^{+}} f(x)=\lim_{x\to 0^{+}}\left(1+\frac{1}{x}-\frac{1}{(x-2)^2}\right) =+\infty,
pois \dfrac{1}{x}\to +\infty e o outro termo tende a -\tfrac{1}{4} (finito).
\lim_{x\to 0^{-}} f(x)=\lim_{x\to 0^{-}}\left(1+\frac{1}{x}-\frac{1}{(x-2)^2}\right) =-\infty,
pois \dfrac{1}{x}\to -\infty.
Logo as duas primeiras condições são satisfeitas.

Passo 5

Verificação do comportamento em x=2.
Perto de x=2 o termo -\dfrac{1}{(x-2)^2} domina e tende para -\infty tanto pela direita quanto pela esquerda (porque o quadrado é sempre positivo). O termo \dfrac{1}{x} tende para \tfrac{1}{2} (finito). Assim:
\lim_{x\to 2} f(x)=\lim_{x\to 2}\left(1+\frac{1}{x}-\frac{1}{(x-2)^2}\right)=-\infty.
Portanto a condição em x=2 é satisfeita.

Passo 6

Verificação das assíntotas horizontais em \pm\infty.
Como \dfrac{1}{x}\to 0 e \dfrac{1}{(x-2)^2}\to 0 quando |x|\to\infty, temos
\lim_{x\to\infty} f(x)=1,\qquad \lim_{x\to -\infty} f(x)=1.
Isso garante a assíntota horizontal y=1 para ambos os lados.

Passo 7

Comportamento global e dicas para esboçar o gráfico (como desenhar na prova).
Pontos importantes a marcar no esboço:
  • Assíntotas verticais: x=0 e x=2.
  • Assíntota horizontal: y=1.
  • Pontos de referência (para determinar a posição relativa entre as assíntotas):
f(1)=1+\frac{1}{1}-\frac{1}{(1-2)^2}=1+1-1=1,
então o ponto (1,1) pertence ao gráfico.
f(-1)=1-\!1-\frac{1}{9}=-\frac{1}{9}\approx -0{,}11,
então em x=-1 o valor está ligeiramente negativo.
f(3)=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{1}= \frac{1}{3}\approx 0{,}33,
então em x=3 o valor está abaixo de 1.
Como desenhar:
  • Para x\to -\infty a curva se aproxima de y=1 por baixo ou por cima dependendo da região; no nosso caso, pelos pontos, ela vem se aproximando de 1 passando por valores ligeiramente abaixo de 1.
  • Em x=0 há assíntota vertical com sinal trocado: o ramo à esquerda vai para -\infty, à direita para +\infty.
  • Entre 0 e 2, a curva sai de +\infty (logo à direita de 0), atravessa e passa por (1,1) e aproxima-se de -\infty ao se aproximar de 2.
  • Para x>2 a função sai de -\infty e sobe aproximando-se de y=1 quando x\to\infty.
Essas informações são suficientes para fazer um esboço qualitativo do gráfico: desenhar as assíntotas, colocar setas indicando os limites infinitos e traçar os ramos que respeitam os pontos de referência indicados.

Resposta

f(x)=1+\frac{1}{x}-\frac{1}{(x-2)^2}

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