Esboce o gráfico de um exemplo de uma função
que satisfaça a todas as condições dadas:
Passo 1
O enunciado pede que a gente esboce o gráfico de alguma função
que satisfaça as seguintes condições (vou listar todas elas claramente):
-
. -
. -
. -
. -
.
O que é pedido: apresentar um exemplo de função
que tenha essas propriedades (e então esboçar o gráfico dessa função).
Passo 2
Estratégia (idéia construtiva, sem calcular ainda): para atender essas condições é natural construir
como soma de termos cujo comportamento local é controlado por componentes simples:
- Para ter assíntota horizontal
em basta escrever com quando . - Para obter
e precisamos de um termo que, perto de , se comporte como com . Esse termo diverge com sinais opostos dos dois lados. - Para conseguir
(mesmo sinal vindo dos dois lados), precisamos de um termo que tenda a independentemente do lado — por exemplo com . Esse termo diverge negativamente ao quadrado do denominador, logo vai a pelas duas direções.
Portanto uma construção óbvia e simples é:
com
. Agora escolhemos valores simples para
e
(por exemplo
) e verificamos.
Passo 3
Definimos a função exemplo:
Ela é definida sempre que
não é
nem
, o que já cria as possíveis assíntotas verticais nesses pontos.
Passo 4
Verificação do comportamento em
.
Análise intuitiva: perto de
o termo
domina porque
é aproximadamente
(um número finito). Então o sinal e a divergência perto de
vêm de
.
Cálculo dos limites:
pois
e o outro termo tende a
(finito).
pois
.
Logo as duas primeiras condições são satisfeitas.
Passo 5
Verificação do comportamento em
.
Perto de
o termo
domina e tende para
tanto pela direita quanto pela esquerda (porque o quadrado é sempre positivo). O termo
tende para
(finito). Assim:
Portanto a condição em
é satisfeita.
Passo 6
Verificação das assíntotas horizontais em
.
Como
e
quando
, temos
Isso garante a assíntota horizontal
para ambos os lados.
Passo 7
Comportamento global e dicas para esboçar o gráfico (como desenhar na prova).
Pontos importantes a marcar no esboço:
- Assíntotas verticais:
e . - Assíntota horizontal:
. - Pontos de referência (para determinar a posição relativa entre as assíntotas):
então o ponto
pertence ao gráfico.
então em
o valor está ligeiramente negativo.
então em
o valor está abaixo de
.
Como desenhar:
- Para
a curva se aproxima de por baixo ou por cima dependendo da região; no nosso caso, pelos pontos, ela vem se aproximando de passando por valores ligeiramente abaixo de . - Em
há assíntota vertical com sinal trocado: o ramo à esquerda vai para , à direita para . - Entre
e , a curva sai de (logo à direita de ), atravessa e passa por e aproxima-se de ao se aproximar de . - Para
a função sai de e sobe aproximando-se de quando .
Essas informações são suficientes para fazer um esboço qualitativo do gráfico: desenhar as assíntotas, colocar setas indicando os limites infinitos e traçar os ramos que respeitam os pontos de referência indicados.