Resolva os limites a seguir. Quando for o caso, indique a equação da reta assíntota vertical ou horizontal.
\lim _{x \rightarrow 3^{+}} \frac{x}{x-3}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcular o limite lateral
\lim_{x\to 3^{+}} \frac{x}{x-3}.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{x}{x-3}.
  • O ponto problemático é x=3 porque o denominador x-3 anula-se em x=3.
  • Deve-se considerar aproximação pela direita (valores de x maiores que 3).

Passo 2

Entendendo o que significa limite lateral para x\to 3^{+}: isso quer dizer que olhamos valores de x da forma x=3+h com h>0 e h\to 0^{+}. Se a expressão crescer sem limite quando h\to 0^{+}, dizemos que o limite é +\infty; se for decrescer sem limite negativo, o limite é -\infty. Também é útil observar o sinal do numerador e do denominador perto de x=3.

Passo 3

Fazer a substituição x=3+h com h\to 0^{+} (isto representa aproximar x de 3 vindo pela direita). Substituindo na função:
\frac{x}{x-3}=\frac{3+h}{(3+h)-3}=\frac{3+h}{h}.
Separe a fração:
\frac{3+h}{h}=\frac{3}{h}+\frac{h}{h}=\frac{3}{h}+1.

Passo 4

Analisar o comportamento quando h\to 0^{+}: o termo \dfrac{3}{h} tende para +\infty porque dividimos uma constante positiva por um número positivo cada vez menor. O termo +1 é irrelevante diante do crescimento sem limite. Logo
\frac{3}{h}+1 \to +\infty \quad\text{quando}\quad h\to 0^{+}.
Portanto
\lim_{x\to 3^{+}} \frac{x}{x-3}=+\infty.

Passo 5

Interpretação e assíntota vertical: o fato do limite lateral ser +\infty significa que a função fica arbitrariamente grande quando x se aproxima de 3 pela direita. Assim, a reta vertical x=3 é uma assíntota vertical do gráfico de f(x)=\dfrac{x}{x-3}. (Para completar o quadro, se aproximássemos por x\to3^{-} obteríamos -\infty, mostrando crescimento para +\infty de um lado e -\infty do outro.)

Resposta

\lim_{x\to 3^{+}} \dfrac{x}{x-3}=+\infty
Assíntota vertical: x=3

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