1. Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.
    \quad \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\infty, \quad \lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=-\infty, \quad \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=1), \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=1

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce o gráfico de um exemplo de função f que satisfaça as quatro condições de limite:
  • \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} f(x)=\infty.
  • \displaystyle \lim_{x\to 0^{-}} f(x)=-\infty.
  • \displaystyle \lim_{x\to \infty} f(x)=1.
  • \displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x)=1.
Informações relevantes dadas:
  • Há uma descontinuidade em x=0 que deve ser uma assíntota vertical com sinais opostos nas duas direções.
  • Em ambas as direções para x tendendo a infinito, a função deve aproximar-se do mesmo valor 1 (assíntota horizontal y=1).

Passo 2

Escolha de uma função candidata (explicando a ideia didaticamente).
  • Para ter a assíntota horizontal y=1 em \pm\infty, é natural considerar uma função da forma 1+g(x) onde g(x)\to 0 quando |x|\to\infty.
  • Para que haja uma explosão (infinito) em x=0 com sinais opostos, uma escolha clássica é g(x)=\dfrac{1}{x}, pois \dfrac{1}{x}\to 0 quando |x|\to\infty, e \dfrac{1}{x}\to+\infty quando x\to 0^{+}, enquanto \dfrac{1}{x}\to -\infty quando x\to 0^{-}.
  • Logo, a escolha simples e eficiente é
f(x)=1+\dfrac{1}{x}.

Passo 3

Verificação detalhada dos limites (passo a passo, sem pular etapas).
  • Calcular \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} f(x): \lim_{x\to 0^{+}} f(x)=\lim_{x\to 0^{+}}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)=1+\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{1}{x}.Para x>0 muito pequeno, \dfrac{1}{x} é um número muito grande e positivo, logo \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{1}{x}=+\infty. Portanto \lim_{x\to 0^{+}} f(x)=1+(+\infty)=+\infty.
  • Calcular \displaystyle \lim_{x\to 0^{-}} f(x): \lim_{x\to 0^{-}} f(x)=1+\lim_{x\to 0^{-}}\dfrac{1}{x}.Para x<0 muito próximo de zero, \dfrac{1}{x} é muito negativo, então \displaystyle \lim_{x\to 0^{-}}\dfrac{1}{x}=-\infty. Logo \lim_{x\to 0^{-}} f(x)=1+(-\infty)=-\infty.
  • Calcular \displaystyle \lim_{x\to \infty} f(x): \lim_{x\to \infty} f(x)=1+\lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x}=1+0=1,porque \dfrac{1}{x}\to 0 quando x\to\infty.
  • Calcular \displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x): \lim_{x\to -\infty} f(x)=1+\lim_{x\to -\infty}\dfrac{1}{x}=1+0=1,porque \dfrac{1}{x}\to 0 quando x\to -\infty.
Assim a função f(x)=1+\dfrac{1}{x} satisfaz exatamente as quatro condições pedidas.

Passo 4

Interpretação geométrica e como esboçar o gráfico (aula prática para desenhar na prova).
  • Assíntotas:
    • Assíntota vertical em x=0 (porque 1/x explode em 0); desenhe uma linha tracejada vertical em x=0.
    • Assíntota horizontal em y=1 (porque 1/x\to 0 em \pm\infty); desenhe uma linha tracejada horizontal em y=1.
  • Comportamento dos ramos:
    • Para x>0: 1/x>0 então f(x)>1. Perto de 0^{+} a função vai para +\infty; quando x cresce a função decresce e aproxima-se de 1 por cima.
    • Para x<0: 1/x<0 então f(x)<1. Perto de 0^{-} a função vai para -\infty; quando x vai para -\infty a função sobe e aproxima-se de 1 por baixo.
  • Pontos úteis para plotar (faça contas simples na prova para ficar com referência): f(1)=1+\dfrac{1}{1}=2,\quad f(2)=1+\dfrac{1}{2}=1,\!5,\quad f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=1+2=3,
f(-1)=1+\dfrac{1}{-1}=0,\quad f(-2)=1-\tfrac{1}{2}=0,\!5,\quad f\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)=1-2=-1.
Use esses pontos para desenhar a curva: no lado direito (x>0) a curva passa por (1,2), (2,1.5) e tende a y=1; no lado esquerdo (x<0) passa por (-1,0), (-2,0.5) e tende a y=1 quando x\to-\infty, mas cai para -\infty ao se aproximar de 0^{-}.
  • Traço final: desenhe duas curvas hiperbólicas suaves, uma no quadrante superior direito que vai de +\infty próximo de x=0^{+} e decai para y=1 à medida que x\to\infty; outra atravessa (-1,0), sai para baixo próximo de x=0^{-} indo a -\infty e sobe para aproximar-se de y=1 à medida que x\to -\infty.

Passo 5

Dica prática para a prova e variações:
  • Na prova, se precisar de outra função com o mesmo comportamento, qualquer função da forma
f(x)=1+\dfrac{a}{x^n}
com a>0 e n ímpar (por exemplo n=1) também dá sinais opostos ao redor de 0 e tende a 1 em \pm\infty quando n>0. A mais simples e direta continua sendo
f(x)=1+\dfrac{1}{x}.
  • Respirar fundo: escolher uma função simples que combine um termo que explode em 0 e um termo que vai para zero em infinito é a estratégia padrão. Você já aprendeu a receita — manda ver no rascunho!

Resposta

f(x)=1+\dfrac{1}{x}

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