- Esboce o gráfico de um exemplo de uma função
que satisfaça a todas as condições dadas.
\quad \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\infty, \quad \lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=-\infty, \quad \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=1),
\quad \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\infty, \quad \lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=-\infty, \quad \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=1),
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce o gráfico de um exemplo de função
que satisfaça as quatro condições de limite:
-
. -
. -
. -
.
Informações relevantes dadas:
- Há uma descontinuidade em
que deve ser uma assíntota vertical com sinais opostos nas duas direções. - Em ambas as direções para
tendendo a infinito, a função deve aproximar-se do mesmo valor (assíntota horizontal ).
Passo 2
Escolha de uma função candidata (explicando a ideia didaticamente).
- Para ter a assíntota horizontal
em , é natural considerar uma função da forma onde quando . - Para que haja uma explosão (infinito) em
com sinais opostos, uma escolha clássica é , pois quando , e quando , enquanto quando . - Logo, a escolha simples e eficiente é
Passo 3
Verificação detalhada dos limites (passo a passo, sem pular etapas).
- Calcular
: Para muito pequeno, é um número muito grande e positivo, logo . Portanto - Calcular
: Para muito próximo de zero, é muito negativo, então . Logo - Calcular
: porque quando . - Calcular
: porque quando .
Assim a função
satisfaz exatamente as quatro condições pedidas.
Passo 4
Interpretação geométrica e como esboçar o gráfico (aula prática para desenhar na prova).
- Assíntotas:
- Assíntota vertical em
(porque explode em ); desenhe uma linha tracejada vertical em . - Assíntota horizontal em
(porque em ); desenhe uma linha tracejada horizontal em .
- Assíntota vertical em
- Comportamento dos ramos:
- Para
: então . Perto de a função vai para ; quando cresce a função decresce e aproxima-se de por cima. - Para
: então . Perto de a função vai para ; quando vai para a função sobe e aproxima-se de por baixo.
- Para
- Pontos úteis para plotar (faça contas simples na prova para ficar com referência):
Use esses pontos para desenhar a curva: no lado direito (x>0) a curva passa por (1,2), (2,1.5) e tende a
; no lado esquerdo (x<0) passa por (-1,0), (-2,0.5) e tende a
quando
, mas cai para
ao se aproximar de
.
- Traço final: desenhe duas curvas hiperbólicas suaves, uma no quadrante superior direito que vai de
próximo de e decai para à medida que ; outra atravessa , sai para baixo próximo de indo a e sobe para aproximar-se de à medida que .
Passo 5
Dica prática para a prova e variações:
- Na prova, se precisar de outra função com o mesmo comportamento, qualquer função da forma
com
e
ímpar (por exemplo
) também dá sinais opostos ao redor de
e tende a
em
quando
. A mais simples e direta continua sendo
- Respirar fundo: escolher uma função simples que combine um termo que explode em
e um termo que vai para zero em infinito é a estratégia padrão. Você já aprendeu a receita — manda ver no rascunho!