Esboce o gráfico de f.
37. f(x, y)=x^2-y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para esboçar o gráfico da função $ f(x, y) = x^{2} - y^{2} $. Isso está relacionado ao estudo de superfícies no espaço tridimensional, mais especificamente das paraboloides. Para resolvermos, vamos precisar entender como essa função se comporta em diferentes valores de $ x $ e $ y $.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que a função $ f(x, y) = x^{2} - y^{2} $ representa. Aqui, estamos relacionando $ x $ e $ y $ para encontrar o valor de $ z $, ou seja, $ z = x^{2} - y^{2} $. Isso significa que para cada par de valores $ (x, y) $, teremos um ponto $ (x, y, z) $ no espaço.

Passo 3

Vamos observar como a função se comporta quando mantemos uma das variáveis constante. Por exemplo:
  • Se $ y = 0 $, então $ z = x^{2} $. Isso gera uma parábola no plano $ xz $.
  • Se $ x = 0 $, então $ z = -y^{2} $. Isso gera uma parábola invertida no plano $ yz $.

Passo 4

Além disso, se fixarmos $ z $ em um valor constante, teremos:
  • Para $ z = c $, onde $ c $ é positivo, a equação $ x^{2} - y^{2} = c $ representa uma hipérbole no plano $ xy $.
  • Para $ z = c $, onde $ c $ é negativo, a equação $ x^{2} - y^{2} = c $ também representa uma hipérbole, mas orientada de forma diferente.

Passo 5

Juntando todas essas informações, percebemos que o gráfico da função $ f(x, y) = x^{2} - y^{2} $ é uma paraboloide de sela. Isso significa que a superfície tem uma curvatura positiva em uma direção e negativa na outra, dando aquela aparência de sela de cavalo.

Resposta

O gráfico de $ f(x, y) = x^{2} - y^{2} $ é uma paraboloide de sela, caracterizada por ter uma curvatura ascendente na direção de $ x $ e descendente na direção de $ y $. Essa superfície se parece com uma sela de cavalo, onde cada “ladeira” e “vale” se estendem indefinidamente nos eixos $ x $ e $ y $.

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