Resolva as EDOs e/ou PVI(m) (2 x y+x^2 y+y^33)+(x^2+y^2) y^prime=0
R.: x^2 y e^x+13 y^3 e^x=C

Passo 1

Resumo: temos a EDO (2xy + x^2y + tfracy^33) + (x^2 + y^2)y' = 0. O conteúdo é equações diferenciais exatas e, caso não seja exata, fator integrante. Vamos precisar reconhecer as funções M(x,y)=2xy + x^2y + tfracy^33 e N(x,y)=x^2+y^2, testar exatidão e, se preciso, achar um fator integrante.

Passo 2

Testamos se a equação é exata, comparando os parciais: partial M/partial y = 2x + x^2 + y^2 e partial N/partial x = 2x. Como não coincidem, a EDO não é exata.

Passo 3

Buscamos um fator integrante em função de x só. Pelo critério, partial M/partial y - partial N/partial xN = (2x + x^2 + y^2) - 2xx^2+y^2 = 1. Logo satisfaz mu'mu=1, de onde mu(x)=e^x.

Passo 4

Multiplicamos a EDO por e^x, obtendo
tilde M=e^xl(2xy + x^2y + tfracy^33r), tilde N=e^x(x^2+y^2)
Verificamos agora que
partialtilde Mpartial y=e^x(2x+x^2+y^2)=partialtilde Npartial x,
confirmando que a equação ficou exata.

Passo 5

Construímos a função potencial psi(x,y) tal que psix=tilde M. Integramos em x:
integral e^x(2x + x^2),dx = e^x x^2,
integral y^33e^x,dx = y^33e^x
Logo
psi(x,y)=x^2y e^x + y^33e^x + h(y)

Passo 6

Diferenciamos psi em relação a y e igualamos a tilde N:
psiy = x^2e^x + y^2e^x + h'(y) = e^x(x^2+y^2)
Daí h'(y)=0, então h é constante.

Passo 7

Assim a solução implícita é psi(x,y)=C, ou seja
x^2y e^x + y^33e^x = C

Resposta

x^2y e^x + \frac{y3}{3}ex = C

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