Resolva as EDOs e/ou PVI(a) d yd x=2 x raizy-1
R.: y(x)=1+(x^2+C2)^2
(b) d yd x-3 y=e^2 x, y(0)=3
R.: y(x)=4 e^3 x-e^2 x
© d yd x=(x+y+3)^2, y(0)=-3
R.: y(x)=tan x-x-3
(d) 2 x y y^prime=4 x^2+3 y^2
R.: y^2=C x^3-4 x^2
(e) x^2 y^prime+2 x y=5 y^3
R.: y^2=x2+C x^5
(f) (6 x y-y^3)+(4 y+3 x^2-3 x y^2) d yd x=0
R.: 3 x^2 y-x y^3+2 y^2=C
(g) (y^2 cos x) d x+(4+5 y sin x) d y=0
R.: y^5 sin x+y^4=C
(h) y^prime=y^2-12
R.: ln |y-1y+1|=K e^x
(i) (x+y) d x+x ln x d y=0
R.: x+y ln x+C=0
(j) x(1-2 y) d yd x=y(-2+x)
R.: ln |y|-2 y=-2 ln |x|+x+C
(k) d yd x=x-yx-y^2
R.: x^22-x y+y^33=C
(l) x cos y d y=(x+1) sin y d x
R.: y=arcsin (x+K e^x)
(m) (2 x y+x^2 y+y^33)+(x^2+y^2) y^prime=0
R.: x^2 y e^x+13 y^3 e^x=C
(n) y^prime+yx=-x y^2
R.: xy=x(x+C)
(o) (2 x-y+4) d y+(x-2 y+5) d x=0, y(0)=2
R.: x-y+3=(x+y-1)^3

Passo 1

Nesse exercício temos 15 EDOs e PVI de tipos variados: equações separáveis, lineares de 1ª ordem, exatas e de Bernoulli. Vamos identificar para cada a classe e aplicar o método adequado: separação de variáveis, fator integrante, exatidão ou substituição.

Passo 2

(a) É equação separável. Escrevemos dyraizy-1 = 2x,dx, integramos, obtemos raizy-1 = x^2 + C2 e elevamos ao quadrado para chegar em y=1+l(tfracx^2+C2r)^2.

Passo 3

(b) É equação linear tipo y'-3y=e^2x. O fator integrante é mu=e^-3x. Multiplicando e integrando, encontramos y = 4e^3x-e^2x.

Passo 4

© Definimos u=x+y+3, então du/dx = 1+u^2 e temos equação separável du1+u^2=dx. Integrando e usando y(0)=-3 u=tan x, logo y=tan x -x-3.

Passo 5

(d) Reescrevendo 2xyy' = 4x^2+3y^2 como equação linear em z=y^2: z' - tfrac3xz=4x. Fator integrante mu=x^-3 leva a y^2 = Cx^3 -4x^2.

Passo 6

(e) Temos y'+tfrac2xy=tfrac5x^2y^3, caso de Bernoulli. Com u=y^-2 chegamos a solução y^2=tfracx2+Cx^5.

Passo 7

(f) A equação (6xy-y^3)+(4y+3x^2-3xy^2)y'=0 é exata. Integramos M em x e igualamos a N em y, obtendo 3x^2y - x y^3+2y^2=C.

Passo 8

(g) Não é exata, mas admite fator integrante mu(y)=y^3. Multiplicando, integramos e obtemos y^5sin x +y^4=C.

Passo 9

(h) Equação separável dyy^2-1 = dx2. Integramos em frações parciais e achamos lnl|y-1y+1r|=x+C.

Passo 10

(i) (x+y)dx + xln x,dy=0 não é exata, mas o fator integrante mu(x)=1/x torna-a exata. Integramos e chegamos a x+yln x = C.

Passo 11

(j) Escrevendo dydx = y(x-2)x(1-2y) e separando variáveis, integrando, obtemos ln|y|-2y = -2ln|x|+x+C.

Passo 12

(k) Reescrevendo (x-y)dx-(x-y^2)dy=0 e conferindo exatidão, integramos para chegar em tfracx^22-xy+tfracy^33=C.

Passo 13

(l) Equação separável cot y,dy=(1+tfrac1x)dx. Integrando dá ln|sin y|=x+ln|x|+C, isto é xsin y=Ke^x e y=arcsin(x+Ke^x).

Passo 14

(m) Multiplicamos por e^x para tornar exata, integramos e achamos x^2y e^x +tfracy^33e^x=C.

Passo 15

(n) É equação de Bernoulli com n=2. Com u=y^-1 chegamos a tfrac1y=x^2+Cx, ou tfracxy=x(x+C).

Passo 16

(o) A equação (x-2y+5)dx+(2x-y+4)dy=0 admite fator integrante mu=(x+y-1)^-2. Integrando dá x-y+3=(x+y-1)^3.

Resposta

(a) y=1+l(tfracx^2+C2r)^2;
(b) y=4e^3x-e^2x;
© y=tan x -x-3;
(d) y^2=Cx^3-4x^2;
(e) y^2=tfracx2+Cx^5;
(f) 3x^2y - x y^3+2y^2=C;
(g) y^5sin x +y^4=C;
(h) lnl|tfracy-1y+1r|=x+C;
(i) x+yln x=C;
(j) ln|y|-2y = -2ln|x|+x+C;
(k) tfracx^22-xy+tfracy^33=C;
(l) y=arcsin(x+Ke^x);
(m) x^2y e^x +tfracy^33e^x=C;
(n) tfracxy=x(x+C);
(o) x-y+3=(x+y-1)^3.

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