Resolva as EDOs e/ou PVI(a)
R.:
(b)
R.:
©
R.:
(d)
R.:
(e)
R.:
(f)
R.:
(g)
R.:
(h)
R.:
(i)
(x+y) d x+x ln x d y=0
R.:
x+y ln x+C=0
(j)
x(1-2 y) d yd x=y(-2+x)
R.:
ln |y|-2 y=-2 ln |x|+x+C
(k)
d yd x=x-yx-y^2
R.:
x^22-x y+y^33=C
(l)
x cos y d y=(x+1) sin y d x
R.:
y=arcsin (x+K e^x)
(m)
(2 x y+x^2 y+y^33)+(x^2+y^2) y^prime=0
R.:
x^2 y e^x+13 y^3 e^x=C
(n)
y^prime+yx=-x y^2
R.:
xy=x(x+C)
(o)
(2 x-y+4) d y+(x-2 y+5) d x=0, y(0)=2
R.:
x-y+3=(x+y-1)^3
R.:
(b)
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©
R.:
(d)
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(e)
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(f)
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(g)
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(h)
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(i)
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(j)
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(k)
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(l)
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(m)
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(n)
R.:
(o)
R.:
Passo 1
Nesse exercício temos 15 EDOs e PVI de tipos variados: equações separáveis, lineares de 1ª ordem, exatas e de Bernoulli. Vamos identificar para cada a classe e aplicar o método adequado: separação de variáveis, fator integrante, exatidão ou substituição.
Passo 2
(a) É equação separável. Escrevemos
dyraizy-1 = 2x,dx , integramos, obtemos
raizy-1 = x^2 + C2 e elevamos ao quadrado para chegar em
y=1+l(tfracx^2+C2r)^2 .
Passo 3
(b) É equação linear tipo
y'-3y=e^2x . O fator integrante é
mu=e^-3x . Multiplicando e integrando, encontramos
y = 4e^3x-e^2x .
Passo 4
© Definimos
u=x+y+3 , então
du/dx = 1+u^2 e temos equação separável
du1+u^2=dx . Integrando e usando
y(0)=-3 dá
u=tan x , logo
y=tan x -x-3 .
Passo 5
(d) Reescrevendo
2xyy' = 4x^2+3y^2 como equação linear em
z=y^2 :
z' - tfrac3xz=4x . Fator integrante
mu=x^-3 leva a
y^2 = Cx^3 -4x^2 .
Passo 6
(e) Temos
y'+tfrac2xy=tfrac5x^2y^3 , caso de Bernoulli. Com
u=y^-2 chegamos a solução
y^2=tfracx2+Cx^5 .
Passo 7
(f) A equação
(6xy-y^3)+(4y+3x^2-3xy^2)y'=0 é exata. Integramos
M em
x e igualamos a
N em
y , obtendo
3x^2y - x y^3+2y^2=C .
Passo 8
(g) Não é exata, mas admite fator integrante
mu(y)=y^3 . Multiplicando, integramos e obtemos
y^5sin x +y^4=C .
Passo 9
(h) Equação separável
dyy^2-1 = dx2 . Integramos em frações parciais e achamos
lnl|y-1y+1r|=x+C .
Passo 10
(i)
(x+y)dx + xln x,dy=0 não é exata, mas o fator integrante
mu(x)=1/x torna-a exata. Integramos e chegamos a
x+yln x = C .
Passo 11
(j) Escrevendo
dydx = y(x-2)x(1-2y) e separando variáveis, integrando, obtemos
ln|y|-2y = -2ln|x|+x+C .
Passo 12
(k) Reescrevendo
(x-y)dx-(x-y^2)dy=0 e conferindo exatidão, integramos para chegar em
tfracx^22-xy+tfracy^33=C .
Passo 13
(l) Equação separável
cot y,dy=(1+tfrac1x)dx . Integrando dá
ln|sin y|=x+ln|x|+C , isto é
xsin y=Ke^x e
y=arcsin(x+Ke^x) .
Passo 14
(m) Multiplicamos por
e^x para tornar exata, integramos e achamos
x^2y e^x +tfracy^33e^x=C .
Passo 15
(n) É equação de Bernoulli com
n=2 . Com
u=y^-1 chegamos a
tfrac1y=x^2+Cx , ou
tfracxy=x(x+C) .
Passo 16
(o) A equação
(x-2y+5)dx+(2x-y+4)dy=0 admite fator integrante
mu=(x+y-1)^-2 . Integrando dá
x-y+3=(x+y-1)^3 .
Resposta
(a)
y=1+l(tfracx^2+C2r)^2 ;
(b)y=4e^3x-e^2x ;
©y=tan x -x-3 ;
(d)y^2=Cx^3-4x^2 ;
(e)y^2=tfracx2+Cx^5 ;
(f)3x^2y - x y^3+2y^2=C ;
(g)y^5sin x +y^4=C ;
(h)lnl|tfracy-1y+1r|=x+C ;
(i)x+yln x=C ;
(j)ln|y|-2y = -2ln|x|+x+C ;
(k)tfracx^22-xy+tfracy^33=C ;
(l)y=arcsin(x+Ke^x) ;
(m)x^2y e^x +tfracy^33e^x=C ;
(n)tfracxy=x(x+C) ;
(o)x-y+3=(x+y-1)^3 .
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)