Resolva as EDOs e/ou PVI(f) (6 x y-y^3)+(4 y+3 x^2-3 x y^2) d yd x=0
R.: 3 x^2 y-x y^3+2 y^2=C

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
(6xy - y^3) + (4y + 3x^2 - 3xy^2)dydx = 0
odem exata, ou seja, de forma M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0. Vamos usar teoria de equações diferenciais exatas para achar uma função potencial Ψ(x,y) tal que dΨ = M,dx + N,dy.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 6xy - y^3,
N(x,y) = 4y + 3x^2 - 3xy^2
Para ser exata é preciso verificar se
partial Mpartial y = partial Npartial x
Calculando:
partial Mpartial y = 6x - 3y^2,
partial Npartial x = 6x - 3y^2,
e elas são iguais, logo a equação é exata.

Passo 3

Agora construímos a função potencial integrando M em relação a x:
Ψ(x,y) = integral (6xy - y^3),dx = 3x^2y - x y^3 + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Para achar h(y), derivamos Ψ em relação a y e igualamos a N(x,y):
partial Ψpartial y = 3x^2 - 3xy^2 + h'(y)
Deve ser igual a
N(x,y) = 4y + 3x^2 - 3xy^2
Isso dá
3x^2 - 3xy^2 + h'(y) = 4y + 3x^2 - 3xy^2
Logo
h'(y) = 4y Longrightarrow h(y) = 2y^2

Passo 5

Substituindo h(y)=2y^2 em Ψ(x,y), obtemos a solução implícita geral:
Ψ(x,y) = 3x^2y - x y^3 + 2y^2 = C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

3x^2y - xy^3 + 2y^2 = C

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