Esboce o gráfico de f, determine lim x a^- f(x), lim x a^+ f(x) e, caso exista, lim x a f(x) :
b) f(x)=llx^2-1, & x >= 1 e x neq 2 1, & x=2 1-x, & x<1 (a=2).

Passo 1

O enunciado define a função por partes f(x)=1-x para x<1, f(x)=x^2-1 para x≥1 exceto em x=2, e f(2)=1. Queremos esboçar o gráfico e calcular limxto2^-f(x), limxto2^+f(x) e limxto2f(x).

Passo 2

Para esboçar, note que em x<1 temos uma reta decrescente de coeficiente ângulo -1 que em x=1 atinge f(1^-)=1-1=0. Em x≥1 vem a parábola f(x)=x^2-1, que em x=1 vale 0, cresce e em x=2 tem um buraco (hole) pois nesse ponto a definição é f(2)=1 isolado.

Passo 3

Para xto2^- estamos na região x≥1, logo f(x)=x^2-1. Portanto fazemos
limxto2^-f(x)=limxto2^-(x^2-1)=2^2-1=3

Passo 4

Para xto2^+ também usamos f(x)=x^2-1, então
limxto2^+f(x)=limxto2^+(x^2-1)=2^2-1=3

Passo 5

Como as duas limites laterais coincidem,
limxto2f(x)=3,
apesar de f(2)=1, mostrando uma descontinuidade removível em x=2.

Resposta

limxto2^-f(x)=3, limxto2^+f(x)=3, limxto2f(x)=3.

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