Nos itens a seguir, calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por y=x e y=2 x-x^2 em torno das retas especificadas. Você pode decidir qual dos dois métodos utilizados você deve usar.
da reta y=2

Passo 1

A gente tem a região limitada pelas curvas y=x e y=2x - x^2 e vai girar isso em torno da reta y=2. O conteúdo é o método dos discos/aros (washers), pois o eixo de rotação é paralelo ao eixo x. Vamos precisar achar as interseções, identificar raio externo e interno e montar a integral.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos x = 2x - x^2. Isso dá
x^2 - x = 0 implies x(x-1)=0 implies x=0 ou x=1
Em x=0 e x=1, temos y=0 e y=1, respectivamente.

Passo 3

Precisamos ver qual curva fica mais próxima da reta y=2. No intervalo [0,1], a parábola y=2x - x^2 está acima da reta y=x. Logo, ao girar em torno de y=2, o raio externo será a distância de y=2 até y=x e o interno até y=2x - x^2.

Passo 4

Definindo os raios em função de x:
Raio externo: R(x)=2 - x
Raio interno: r(x)=2 - (2x - x^2)=x^2 -2x +2
O volume é
V=piintegral0^1l[R(x)^2 - r(x)^2r],dx

Passo 5

Vamos simplificar o integrando. Primeiro,
R(x)^2=(2 - x)^2=4 -4x + x^2,
r(x)^2=(x^2 -2x +2)^2=x^4 -4x^3 +8x^2 -8x +4
Então
R(x)^2 - r(x)^2 = -x^4 +4x^3 -7x^2 +4x

Passo 6

Agora integramos de 0 a 1:
integral0^1(-x^4 +4x^3 -7x^2 +4x),dx = l[-tfrac15x^5 + x^4 -tfrac73x^3 +2x^2r]0^1 = -tfrac15+1-tfrac73+2
Somando: 1+2=3, 3-7/3=2/3, e 2/3-1/5=7/15.

Passo 7

Multiplicando por pi, o volume fica
V=7pi15

Resposta

7pi15

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