Nos itens a seguir, calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por
e
em torno das retas especificadas. Você pode decidir qual dos dois métodos utilizados você deve usar.
da reta
da reta
Passo 1
A gente tem a região limitada pelas curvas
e
e vai girar isso em torno da reta
. O conteúdo é o método dos discos/aros (washers), pois o eixo de rotação é paralelo ao eixo
. Vamos precisar achar as interseções, identificar raio externo e interno e montar a integral.
Passo 2
Para achar os pontos de interseção, igualamos
. Isso dá
Em
Passo 3
Precisamos ver qual curva fica mais próxima da reta
. No intervalo
, a parábola
está acima da reta
. Logo, ao girar em torno de
, o raio externo será a distância de
até
e o interno até
.
Passo 4
Definindo os raios em função de
:
Raio externo:
Raio interno:
O volume é
O volume é
Passo 5
Vamos simplificar o integrando. Primeiro,
Então
Passo 6
Agora integramos de 0 a 1:
Somando:
Passo 7
Multiplicando por
, o volume fica