Use o método das cascas cilíndricas, encontre o volume do solido descrito.
Uma calota de uma esfera de raio
e altura h.
Uma calota de uma esfera de raio
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos uma calota esférica de raio
e altura
. Queremos encontrar seu volume usando o método das cascas cilíndricas, que consiste em considerar retângulos verticais na região do semi-círculo e girá-los em torno do eixo vertical para obter cilindros finos cuja soma aproximará o volume.
Passo 2
Para aplicar cascas, olhe para o círculo de equação
no plano
. A calota corresponde à região acima da reta
. Girando essa região em torno do eixo
, cada retângulo de espessura
gera uma casca de raio
e altura
. O valor de
varia de 0 até o ponto onde a reta encontra o círculo, ou seja
.
Passo 3
Montamos a integral pelo método das cascas cilíndricas:
Passo 4
Separe a integral em duas partes:
Passo 5
Calcule as duas integrais. Para a primeira use a substituição
,
, resultando em
Para a segunda:
Passo 6
Agora substituímos em
e simplificamos: