Use o método das cascas cilíndricas, encontre o volume do solido descrito.
Uma calota de uma esfera de raio r e altura h.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma calota esférica de raio r e altura h. Queremos encontrar seu volume usando o método das cascas cilíndricas, que consiste em considerar retângulos verticais na região do semi-círculo e girá-los em torno do eixo vertical para obter cilindros finos cuja soma aproximará o volume.

Passo 2

Para aplicar cascas, olhe para o círculo de equação x^2+z^2=r^2 no plano xz. A calota corresponde à região acima da reta z=r-h. Girando essa região em torno do eixo z, cada retângulo de espessura dx gera uma casca de raio x e altura raizr^2-x^2 - (r-h). O valor de x varia de 0 até o ponto onde a reta encontra o círculo, ou seja x=raizr^2-(r-h)^2=raiz2rh-h^2.

Passo 3

Montamos a integral pelo método das cascas cilíndricas:
V=2piintegral0^raiz2rh-h^2 xl(raizr^2-x^2 - (r-h)r),dx

Passo 4

Separe a integral em duas partes:
V=2pil(integral0^axraizr^2-x^2,dx ;- (r-h)integral0^ax,dxr), onde a=raiz2rh-h^2.

Passo 5

Calcule as duas integrais. Para a primeira use a substituição u=r^2-x^2, -du=2x,dx, resultando em
integral0^axraizr^2-x^2,dx=13l(r^3-(r-h)^3r)=r^2h-rh^2+tfrach^33
Para a segunda:
integral0^ax,dx=a^22=rh-h^22

Passo 6

Agora substituímos em V e simplificamos:
V=2pil((r^2h-rh^2+tfrach^33)-(r-h)(rh-tfrach^22)r)=pi h^2l(r-tfrach3r)

Resposta

V=pi h^2l(r-tfrach3r)

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