Esboce o gráfico de f, determine e, caso exista, .
Passo 1
O enunciado dá uma função por partes
f(x)= x^2-1,&x<2, 3,&x=-1, -,x+5,&x>2,
e pede o esboço do gráfico e os limites laterais em a=2, isto é limxto2^-f(x), limxto2^+f(x) e, se existir, limxto2f(x).
Passo 2
Para esboçar o gráfico:
– Ramo 1 (x<2): é a parábola y=x^2-1. Em x=2 a parábola atinge y=3, mas fica um círculo aberto em (2,3).
– Ponto isolado: em x=-1 substituímos o valor da parábola (-1,0) por um ponto preenchido em (-1,3).
– Ramo 2 (x>2): é a reta y=-x+5. Em x=2 ela também dá y=3, mas com círculo aberto em (2,3), e depois desce linearmente.
Passo 3
Para limxto2^-f(x) usamos o ramo contínuo x^2-1. Assim, aproximando x por valores menores que 2,
limxto2^-f(x) =limxto2^-(x^2-1) =2^2-1 =3
Passo 4
Para limxto2^+f(x) usamos o ramo contínuo -x+5. Assim, aproximando x por valores maiores que 2,
limxto2^+f(x) =limxto2^+(-x+5) =-2+5 =3
Passo 5
Como os limites laterais coincidem em 3, concluímos que o limite de duas mãos existe:
limxto2f(x)=3
Note que f(2)não está definido, então f não é contínua em x=2, mas o limite existe.