Esboce o gráfico de f, determine lim x a^- f(x), lim x a^+ f(x) e, caso exista, lim x a f(x).
f(x)=cx^2-1, se x<2 3, se x=-1 -x+5, se x>2 (a=2)

Passo 1

O enunciado dá uma função por partes
f(x)= x^2-1,&x<2, 3,&x=-1, -,x+5,&x>2,
e pede o esboço do gráfico e os limites laterais em a=2, isto é limxto2^-f(x), limxto2^+f(x) e, se existir, limxto2f(x).

Passo 2

Para esboçar o gráfico:
– Ramo 1 ( x<2): é a parábola y=x^2-1. Em x=2 a parábola atinge y=3, mas fica um círculo aberto em (2,3).
– Ponto isolado: em x=-1 substituímos o valor da parábola ( -1,0) por um ponto preenchido em (-1,3).
– Ramo 2 ( x>2): é a reta y=-x+5. Em x=2 ela também dá y=3, mas com círculo aberto em (2,3), e depois desce linearmente.

Passo 3

Para limxto2^-f(x) usamos o ramo contínuo x^2-1. Assim, aproximando x por valores menores que 2,
limxto2^-f(x) =limxto2^-(x^2-1) =2^2-1 =3

Passo 4

Para limxto2^+f(x) usamos o ramo contínuo -x+5. Assim, aproximando x por valores maiores que 2,
limxto2^+f(x) =limxto2^+(-x+5) =-2+5 =3

Passo 5

Como os limites laterais coincidem em 3, concluímos que o limite de duas mãos existe:
limxto2f(x)=3
Note que f(2) não está definido, então f não é contínua em x=2, mas o limite existe.

Resposta

limxto2^-f(x)=3, limxto2^+f(x)=3, limxto2f(x)=3

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