Calcule as integrais duplas:
, onde
é a região limitada por
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a região do primeiro quadrante limitada pelos círculos
e
.
O conteúdo principal aqui é a troca para coordenadas polares, pois a função depende de e a região é anelar.
O conteúdo principal aqui é a troca para coordenadas polares, pois a função depende de
Passo 2
Em coordenadas polares fazemos
o Jacobiano é
.
Como e
,
varia de
a
.
Como ,
varia de
a
.
Como
Como
Passo 3
Substituindo na integral, temos
Passo 4
Primeiro calculamos a integral em
. Use
, então
e
:
Passo 5
Agora integramos em
, que é trivial:
Multiplicando os resultados,