Calcule as integrais duplas:
integral duplaB e^(x^2+y^2) d x d y, onde B é a região limitada por x >= 0, y >= 0,1 <= x^2+y^2 <= 4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaB e^x^2+y^2,dx,dy
onde B é a região do primeiro quadrante limitada pelos círculos x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4.
O conteúdo principal aqui é a troca para coordenadas polares, pois a função depende de x^2+y^2 e a região é anelar.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x = rcostheta, y = rsintheta,
o Jacobiano é dx,dy = r,dr,dtheta.
Como x>=0 e y>=0, theta varia de 0 a tfracpi2.
Como 1<= x^2+y^2<=4, r varia de 1 a 2.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
integral duplaB e^x^2+y^2,dx,dy =integraltheta=0^pi/2integralr=1^2 e^r^2;r,dr,dtheta

Passo 4

Primeiro calculamos a integral em r. Use u=r^2, então du=2r,dr e r,dr=tfrac12du:
integral1^2 e^r^2,r,dr =12integralu=1^2^2^2 e^u,du =12l[e^ur]1^4 =12l(e^4-e^1r) =12l(e^4-er)

Passo 5

Agora integramos em theta, que é trivial:
integral0^pi/2dtheta = pi2
Multiplicando os resultados,
integral duplaB e^x^2+y^2,dx,dy =pi2times12l(e^4-er) =pi4l(e^4-er)

Resposta

pi4l(e^4-er)

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