Calcule as integrais duplas:
& integral duplaB(x+y) e^x^2-y^2 d x d y , onde B é o retângulo limitado pelas retas x-y=0, x-y=2 , & x+y=0 e x+y=3 éâ

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral duplaB(x+y),e^x^2-y^2,dx,dy
onde B é o paralelogramo limitado pelas retas
x-y=0, x-y=2, x+y=0, x+y=3
O conteúdo é mudança de variáveis em integrais duplas. Observamos que as fronteiras ficam “retangulares” se usarmos
u = x-y, v = x+y

Passo 2

Definimos a transformação
u = x - y, v = x + y,
cuja inversa é
x = u+v2, y = v-u2
As retas ficam
u=0,;u=2,;v=0,;v=3
logo a região em (u,v) é
B' = [0,2]times[0,3]

Passo 3

O Jacobiano da transformação é
J = partial(x,y)partial(u,v) = 12 & 12[6pt] -12 & 12 = 12,
portanto l|Jr|=tfrac12.]

Passo 4

Na nova variável temos
x+y = v, x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) = u,v,
e assim
(x+y)e^x^2-y^2,dx,dy = v,e^uv,l|Jr|,du,dv = tfrac12,v,e^uv,du,dv

Passo 5

A integral vira
I = integral duplaB(x+y)e^x^2-y^2,dx,dy = 12 integralu=0^2 integralv=0^3 v,e^uv,dv,du
Integramos primeiro em u:
integralu=0^2e^uv,du = e^2v-1v,
logo
I = 12 integralv=0^3 l(e^2v-1r),dv

Passo 6

Calculamos
integral0^3(e^2v-1),dv = l[tfrac12e^2v-vr]0^3 = l(tfrac12e^6-3r)-l(tfrac12-0r) = e^6-12-3
Multiplicando por tfrac12 obtemos
I = 12l(e^6-12-3r) = e^6-74

Resposta

e^6-74

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