Esboce o gráfico.
f(x)=8 x^2-x^4

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função f(x)=8 x{2}–x{4}, que é um polinômio de quarto grau (conteúdo: curvas polinomiais), e vamos usar domínio, simetria, raízes, derivadas e concavidade para construir o esboço.

Passo 2

A função é polinomial de grau 4, logo o domínio é todo “)ℝ”. Além disso, f(–x)=8(–x){2}–(–x){4}=8 x{2}–x{4}=f(x), então ela é par (simétrica em relação ao eixo y).

Passo 3

Para achar os interceptos, fazemos f(x)=0:
x^2(8x^2)=0
dando raízes x=0 (multiplicidade 2) e x=±√8=±2√2. O intercepto em y é f(0)=0.

Passo 4

Calculamos a derivada para achar extremos:
f'(x)=16x4x^3=4x(4x^2)
As raízes de f’ são x=0 e x=±2. Avaliando f nesses pontos: f(0)=0, f(±2)=8·4–16=32–16=16. Testando o sinal de f’ concluímos:
– Em x=0 há um mínimo local (f’ troca de negativo para positivo).
– Em x=±2 há máximos locais (f’ troca de positivo para negativo).

Passo 5

Para inflexões, usamos a segunda derivada:
f''(x)=1612x^2
Fazendo f’’(x)=0 obtém-se x=±√(4/3)=±2/√3. As abscissas ±2/√3 são pontos de inflexão, mudando a concavidade.

Passo 6

Como coeficiente principal é –1 (de –x^{4}), f(x)→–∞ quando x→±∞. Com todos esses pontos e a simetria, traçamos uma curva que sobe de –∞, atinge máximos locais em (–2,16) e (2,16), desce até cruzar o eixo em (–2√2,0) e (2√2,0), passa por (0,0) com mínimo local, e volta a –∞.

Passo 7

No esboço final, marcamos esses pontos-chave (raízes, extremos, inflexões) e ligamos formando a curva simétrica típica de um polinômio de quarto grau com coeficiente líder negativo.

Resposta

O gráfico é um polinômio de grau 4 com coeficiente principal negativo, simétrico em relação a y. Tem mínimo local em (0,0), máximos locais em (±2,16), pontos de inflexão em (±2/√3, f(±2/√3)) e raízes em x=0 (multiplicidade 2) e x=±2√2. A curva sai de –∞, sobe até os máximos em (±2,16), desce passando pelos zeros ±2√2, atinge mínimo em (0,0) e retorna a –∞ simetricamente.

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