Esboce o gráfico.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede: esboçar o gráfico da função
. - Informação dada: a expressão
(nenhuma figura adicional foi fornecida). - Observação útil já aqui: o domínio natural desta função é todo
(valor absoluto está definido para qualquer ).
Passo 2
Reescrever
Substituindo isso em
: para
não negativo é a parábola usual
(abre para cima); para
negativo é a parábola
(abre para baixo).]
Passo 3
Analisar continuidade e valor em
(importante na hora de desenhar se há “buraco” ou ponto cheio):
- Valor no ponto:
- Limite pela direita:
- Limite pela esquerda:
Como ambos os limites e o valor coincidem, a função é contínua em. No esboço, portanto, use ponto cheio em .
Passo 4
Verificar derivabilidade em
- Limite das derivadas nas duas direções:
Como as derivadas laterais coincidem e finitas, a função é diferenciável em
é horizontal (inclinação
). Observação: a segunda derivada salta de
(esquerda) para
(direita), então a concavidade muda em
— é ponto de inflexão com tangente horizontal.]
Passo 5
Propriedade de simetria (ajuda muito a desenhar rapidamente):
Calcular :
Calcular
Portanto a função é ímpar (simétrica em relação à origem). Na prática: basta desenhar a parte para
e rodar 180° em torno da origem para obter a parte para
.
Passo 6
Comportamento para grandes valores de
(como as “pontas” do gráfico se comportam):
- Para
: . A rama direita cresce como uma parábola que abre para cima. - Para
: . A rama esquerda decai como uma parábola que abre para baixo.
Passo 7
Pontos de referência para plotar manualmente (sempre bom marcar alguns pontos ao esboçar):
Calcule valores simples:
Calcule valores simples:
Ao desenhar, marque esses pontos e ligue-os com a forma suave de parábola de cada lado.
Passo 8
Como desenhar passo a passo (receita prática para a prova):
- Desenhe os eixos
e e marque a origem . - Para
: desenhe a parábola começando em subindo para a direita, passando por , etc. A concavidade aqui é para cima. - Para
: desenhe a parábola começando em indo para baixo à esquerda, passando por , etc. A concavidade aqui é para baixo. - Certifique-se que as duas curvas se encontram suavemente em
com tangente horizontal. - Use a simetria ímpar se quiser: trace a rama direita e, girando 180° ao redor da origem, obtém-se a rama esquerda.
Passo 9
Características importantes para anotar no esboço (ajuda a interpretar o gráfico rapidamente):
- A função é contínua e diferenciável em todo
. - Único zero:
. - Tangente em
é horizontal ( ). - Concavidade: côncava para cima em
e côncava para baixo em ; é ponto de inflexão. - Ímpar (simetria em relação à origem).
Resposta
O gráfico é a união de duas parábolas coladas em
:
para
e
para
. Passa por
, é contínua e diferenciável em
(tangente horizontal), côncava para cima à direita e para baixo à esquerda, e é função ímpar.