Esboce o gráfico.
y=x|x|

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede: esboçar o gráfico da função \,y = x|x|\,.
  • Informação dada: a expressão \,x|x|\, (nenhuma figura adicional foi fornecida).
  • Observação útil já aqui: o domínio natural desta função é todo \mathbb{R} (valor absoluto está definido para qualquer x).

Passo 2

Reescrever \,|x|\,\) como função peça a peça (essa é a ideia central para esboçar): \[|x| = \begin{cases} x, & x\ge 0,\\[4pt] -x, & x<0. \end{cases}
Substituindo isso em \,y = x|x|\,\] obtemos a forma peça a peça da função: \[y = x|x| = \begin{cases} x\cdot x = x^2, & x\ge 0,\\[4pt] x\cdot(-x) = -x^2, & x<0. \end{cases}\] Explicação didática: a função é, na prática, duas parábolas diferentes coladas em \(x=0: para x não negativo é a parábola usual \,y=x^2 (abre para cima); para x negativo é a parábola \,y=-x^2 (abre para baixo).]

Passo 3

Analisar continuidade e valor em 0 (importante na hora de desenhar se há “buraco” ou ponto cheio):
  • Valor no ponto: \,y(0)=0\cdot|0|=0.
  • Limite pela direita: \displaystyle\lim_{x\to 0^+} y(x)=\lim_{x\to 0^+} x^2 = 0.
  • Limite pela esquerda: \displaystyle\lim_{x\to 0^-} y(x)=\lim_{x\to 0^-} (-x^2)=0.
    Como ambos os limites e o valor coincidem, a função é contínua em x=0. No esboço, portanto, use ponto cheio em (0,0).

Passo 4

Verificar derivabilidade em 0\) (útil para saber a inclinação da tangente no ponto de junção): - Derivadas das peças (fórmula básica: \(\frac{d}{dx}x^2=2x\), \(\frac{d}{dx}(-x^2)=-2x\)): \[y'(x)=\begin{cases} 2x, & x>0,\\[4pt] -2x, & x<0. \end{cases}
  • Limite das derivadas nas duas direções:
\lim_{x\to 0^+} y'(x)=\lim_{x\to 0^+} 2x = 0,\qquad \lim_{x\to 0^-} y'(x)=\lim_{x\to 0^-} (-2x) = 0.
Como as derivadas laterais coincidem e finitas, a função é diferenciável em 0\] e a tangente em \(0 é horizontal (inclinação 0). Observação: a segunda derivada salta de -2 (esquerda) para +2 (direita), então a concavidade muda em 0 — é ponto de inflexão com tangente horizontal.]

Passo 5

Propriedade de simetria (ajuda muito a desenhar rapidamente):
Calcular f(-x):
f(-x)=(-x)|-x| = -x|x| = -f(x).
Portanto a função é ímpar (simétrica em relação à origem). Na prática: basta desenhar a parte para x\ge 0 e rodar 180° em torno da origem para obter a parte para x\le 0.

Passo 6

Comportamento para grandes valores de |x| (como as “pontas” do gráfico se comportam):
  • Para x\to +\infty: \,y=x^2\to +\infty. A rama direita cresce como uma parábola que abre para cima.
  • Para x\to -\infty: \,y=-x^2\to -\infty. A rama esquerda decai como uma parábola que abre para baixo.

Passo 7

Pontos de referência para plotar manualmente (sempre bom marcar alguns pontos ao esboçar):
Calcule valores simples:
\begin{aligned} x=-2&\Rightarrow y=-(-2)^2=-4,\\\ x=-1&\Rightarrow y=-1,\\\ x=-\tfrac{1}{2}&\Rightarrow y=-\tfrac{1}{4},\\\ x=0&\Rightarrow y=0,\\\ x=\tfrac{1}{2}&\Rightarrow y=\tfrac{1}{4},\\\ x=1&\Rightarrow y=1,\\\ x=2&\Rightarrow y=4. \end{aligned}
Ao desenhar, marque esses pontos e ligue-os com a forma suave de parábola de cada lado.

Passo 8

Como desenhar passo a passo (receita prática para a prova):
  1. Desenhe os eixos x e y e marque a origem (0,0).
  2. Para x\ge 0: desenhe a parábola \,y=x^2 começando em (0,0) subindo para a direita, passando por (1,1), (2,4) etc. A concavidade aqui é para cima.
  3. Para x\le 0: desenhe a parábola \,y=-x^2 começando em (0,0) indo para baixo à esquerda, passando por (-1,-1), (-2,-4) etc. A concavidade aqui é para baixo.
  4. Certifique-se que as duas curvas se encontram suavemente em (0,0) com tangente horizontal.
  5. Use a simetria ímpar se quiser: trace a rama direita e, girando 180° ao redor da origem, obtém-se a rama esquerda.

Passo 9

Características importantes para anotar no esboço (ajuda a interpretar o gráfico rapidamente):
  • A função é contínua e diferenciável em todo \mathbb{R}.
  • Único zero: x=0.
  • Tangente em 0 é horizontal ( y'(0)=0).
  • Concavidade: côncava para cima em x>0 e côncava para baixo em x<0; x=0 é ponto de inflexão.
  • Ímpar (simetria em relação à origem).

Resposta

O gráfico é a união de duas parábolas coladas em 0: \,y=x^2 para x\ge 0 e \,y=-x^2 para x<0. Passa por (0,0), é contínua e diferenciável em 0 (tangente horizontal), côncava para cima à direita e para baixo à esquerda, e é função ímpar.

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