Esboce o gráfico.
f(x)=(1+e^x)^-2

Passo 1

O problema pede para esboçar o gráfico da função f(x)=(1+e^x)^-2. O conteúdo envolve análise de gráficos de funções exponenciais, incluindo domínio, limites, assíntotas, derivadas para monotonicidade e concavidade.

Passo 2

Analisando domínio, imagem, limites e assíntotas: o domínio é todo R. Como 1+e^x>0 sempre, f(x)>0. Quando xto-infty, temos e^xto0 e f(x)to1; quando xto+infty, e^xto+infty e f(x)to0. Logo há assíntotas horizontais y=1 à esquerda e y=0 à direita, e a imagem é (0,1).

Passo 3

Para monotonicidade, calculamos a derivada:
f'(x)=-2,(1+e^x)^-3,e^x = -2e^x(1+e^x)^3
Como e^x>0, segue que f'(x)<0 para todo x, então f é estritamente decrescente.

Passo 4

Para concavidade, achamos a segunda derivada:
f''(x)=-2,e^x,(1-2e^x),(1+e^x)^-4
Zerando o numerador, vem e^x=1/2 ou x=-ln2, ponto de inflexão. Para x<-ln2 temos f''(x)<0 (côncava para baixo) e para x>-ln2 temos f''(x)>0 (côncava para cima).

Passo 5

Identificamos pontos úteis: f(0)=(1+1)^-2=1/4 e no ponto de inflexão f(-ln2)=(1+1/2)^-2=(3/2)^-2=4/9. Com tudo isso, o esboço é uma curva suave que sai de perto de y=1 quando xto-infty, passa em ( -ln2,4/9) mudando concavidade, cruza (0,1/4) e decresce até se aproximar de y=0 quando xto+infty.

Resposta

Gráfico de uma curva positiva e estritamente decrescente, com assíntotas horizontais em y=1 (à esquerda) e y=0 (à direita), ponto de inflexão em (-ln2,4/9), concavidade voltada para baixo antes desse ponto e para cima depois, passando por (0,1/4).

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