Esboce o gráfico.
Passo 1
O problema pede para esboçar o gráfico da função
. O conteúdo envolve análise de gráficos de funções exponenciais, incluindo domínio, limites, assíntotas, derivadas para monotonicidade e concavidade.
Passo 2
Analisando domínio, imagem, limites e assíntotas: o domínio é todo
. Como
sempre,
. Quando
, temos
e
; quando
,
e
. Logo há assíntotas horizontais
à esquerda e
à direita, e a imagem é
.
Passo 3
Para monotonicidade, calculamos a derivada:
Como
Passo 4
Para concavidade, achamos a segunda derivada:
Zerando o numerador, vem
Passo 5
Identificamos pontos úteis:
e no ponto de inflexão
. Com tudo isso, o esboço é uma curva suave que sai de perto de
quando
, passa em
mudando concavidade, cruza
e decresce até se aproximar de
quando
.
Resposta
Gráfico de uma curva positiva e estritamente decrescente, com assíntotas horizontais em
(à esquerda) e
(à direita), ponto de inflexão em
, concavidade voltada para baixo antes desse ponto e para cima depois, passando por
.