Verifique se as seguintes funções são contínuas:
g)
g)
Passo 1
O enunciado pede para verificar a continuidade da função por partes, que é um tópico de limites e continuidade de funções reais. Para isso vamos usar definição de limite e valor da função em cada ponto.
Passo 2
Para qualquer ponto x<1 usamos a expressão f(x)=2x que é uma função polinomial. Como polinômios são contínuos em todo \mathbb{R}, f é contínua em todo o intervalo (-∞,1).
Para x>1 usamos f(x)=1, que é constante. Funções constantes são também contínuas em todo \mathbb{R}, então f é contínua em todo o intervalo (1,∞).
Para x>1 usamos f(x)=1, que é constante. Funções constantes são também contínuas em todo \mathbb{R}, então f é contínua em todo o intervalo (1,∞).
Passo 3
Agora analisamos o ponto x=1. Calculamos o limite à esquerda:
. O valor da função em x=1 é
pois usamos a regra 2x para x≤1. O limite à direita é
. Como o limite à direita (1) difere do limite à esquerda (2), não há limite único em x=1.
Passo 4
Como o limite não existe (ou seja, os limites laterais são diferentes), f não é contínua em x=1. Nos outros pontos já vimos que f é contínua.
Resposta
A função é contínua em (-∞,1) e em (1,∞) e descontínua em x=1.