Verifique se as seguintes funções são contínuas:
g) f(x)=lll2 x & se & x <= 1 1 & se & x>1

Passo 1

O enunciado pede para verificar a continuidade da função por partes, que é um tópico de limites e continuidade de funções reais. Para isso vamos usar definição de limite e valor da função em cada ponto.

Passo 2

Para qualquer ponto x<1 usamos a expressão f(x)=2x que é uma função polinomial. Como polinômios são contínuos em todo \mathbb{R}, f é contínua em todo o intervalo (-∞,1).
Para x>1 usamos f(x)=1, que é constante. Funções constantes são também contínuas em todo \mathbb{R}, então f é contínua em todo o intervalo (1,∞).

Passo 3

Agora analisamos o ponto x=1. Calculamos o limite à esquerda: limxto1^-f(x)=2cdot1=2. O valor da função em x=1 é f(1)=2 pois usamos a regra 2x para x≤1. O limite à direita é limxto1^+f(x)=1. Como o limite à direita (1) difere do limite à esquerda (2), não há limite único em x=1.

Passo 4

Como o limite não existe (ou seja, os limites laterais são diferentes), f não é contínua em x=1. Nos outros pontos já vimos que f é contínua.

Resposta

A função é contínua em (-∞,1) e em (1,∞) e descontínua em x=1.

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