Use a continuidade da função para calcular os seguintes limites:
lim x 0 ln (cos ^2(x)+1raiz2(x^2+1))

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite limxto0 lngl(dfraccos^2(x)+1raiz2(x^2+1)gr). O conteúdo envolvido é continuidade de funções e regras de limites, em especial a continuidade do logaritmo natural, e vamos precisar usar o fato de que se f é contínua e g(x)to L, então f(g(x))to f(L).

Passo 2

Como o logaritmo natural ln é contínuo no domínio (0,infty), a gente pode puxar o limite para dentro: precisamos achar primeiro limxto0 dfraccos^2(x)+1raiz2(x^2+1) e depois aplicar ln nesse resultado.

Passo 3

Para o numerador, note que cos(x) é contínua e cos(0)=1. Logo,
limxto0 (cos^2(x)+1) = cos^2(0)+1 = 1+1 = 2

Passo 4

Para o denominador, x^2+1 tende a 1 quando xto0, então
limxto0 raiz2,(x^2+1) = raiz2cdot1 = raiz2

Passo 5

Com isso, o quociente tem limite
limxto0 dfraccos^2(x)+1raiz2(x^2+1) = dfrac2raiz2 = raiz2

Passo 6

Por fim, aplicando ln à continuidade, o limite original é
lnl(raiz2r) = lnl(2^1/2r) = tfrac12,ln(2)

Resposta

tfrac12,ln(2)

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