Determine os máximos e mínimos locais e absolutos, caso existam, para as seguintes funções:
f(x)=sin (2 x) ; x in(0,2 pi)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos locais e absolutos de f(x)=sin(2x) no intervalo aberto (0,2pi). Vamos precisar de derivadas para achar pontos críticos, usar o teste da segunda derivada para classificar máximos e mínimos locais, e comparar valores para ver os extremos absolutos.

Passo 2

Calcular a derivada primeira e encontrar pontos críticos. A derivada é
f'(x)=2cos(2x)
Os pontos críticos surgem de f'(x)=0, ou seja
cos(2x)=0implies 2x=pi2+kpi implies x=pi4+kpi2, kinZ
Dentro de (0,2pi) isso dá
$$x=\frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4}.
$$

Passo 3

Aplicar o teste da segunda derivada para classificar cada ponto. A segunda derivada é
f''(x)=-4sin(2x)
Em cada ponto:
– Em x=pi/4: sin(2cdotpi/4)=1 então f''=-4<0, máximo local.
– Em x=3pi/4: sin(3pi/2)=-1 então f''=4>0, mínimo local.
– Em x=5pi/4: sin(5pi/2)=1 então f''=-4<0, máximo local.
– Em x=7pi/4: sin(7pi/2)=-1 então f''=4>0, mínimo local.

Passo 4

Avaliar f nos pontos críticos e decidir extremos absolutos. Temos
f(pi/4)=1, f(3pi/4)=-1, f(5pi/4)=1, f(7pi/4)=-1
Como a função não atinge valores maiores que 1 nem menores que -1, os máximos locais em que f=1 são também máximos absolutos, e os mínimos locais em que f=-1 são também mínimos absolutos.

Resposta

Máximos locais e absolutos em x= pi/4, 5pi/4 com f=1; mínimos locais e absolutos em x= 3pi/4, 7pi/4 com f=-1.

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