Determine os máximos e mínimos locais e absolutos, caso existam, para as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos locais e absolutos de
no intervalo aberto
. Vamos precisar de derivadas para achar pontos críticos, usar o teste da segunda derivada para classificar máximos e mínimos locais, e comparar valores para ver os extremos absolutos.
Passo 2
Calcular a derivada primeira e encontrar pontos críticos. A derivada é
Os pontos críticos surgem de
Dentro de
isso dá
$$x=\frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4}.
$$
Passo 3
Aplicar o teste da segunda derivada para classificar cada ponto. A segunda derivada é
Em cada ponto:
– Em
– Em
– Em
– Em
Passo 4
Avaliar
nos pontos críticos e decidir extremos absolutos. Temos
Como a função não atinge valores maiores que 1 nem menores que -1, os máximos locais em que
Resposta
Máximos locais e absolutos em x=
,
com f=1; mínimos locais e absolutos em x=
,
com f=-1.