Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green.
C é o limite da região englobada pelas parábolas y=x^2 e x=y^2. Calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
integralC(y+e^raizx) d x+(2 x+cos y^2) d y

Passo 1

Temos a curva C que é o contorno da região D limitada pelas parábolas y=x² e x=y². Essas curvas se intersectam em (0,0) e (1,1). Queremos calcular a integral de linha ∫C (y+e^√x),dx + (2x+cos(y²)),dy² em sentido anti–horário usando dois métodos: parametrização direta e Teorema de Green.

Passo 2

Método (a): dividimos C em dois trechos orientados para percorrer D no sentido positivo (anti–horário). O trecho C₁ vai de (0,0) a (1,1) ao longo de y=x², e C₂ volta de (1,1) a (0,0) ao longo de x=y².

Passo 3

No trecho C₁ parametrizamos por x=t, y=t²² com tin[0,1]. Então dx=dt, dy=2t,dt e
integralC₁(y+e^raizx),dx+(2x+cos(y²)),dy = integral0^1l(t²+e^raiztr),dt + integral0^1(2t+cos(t⁴)),2t,dt = integral0^1l(5t² + e^raizt + 2tcos(t⁴)r),dt²²²

Passo 4

No trecho C₂ parametrizamos por x=t², y=t² com t de 1 até 0 (para voltar a (0,0)). Então dx=2t,dt, dy=dt e
integralC₂(y+e^raizx),dx+(2x+cos(y²)),dy = integral1^0 l(t+e^tr)2t,dt + integral1^0 (2t²+cos(t²)),dt = -integral0^1l(4t² + 2t e^t + cos(t²)r),dt²²²²²

Passo 5

Somando C₁ e C₂ obtemos
integralC = integral0^1l(5t² + e^raizt + 2tcos(t⁴)r),dt - integral0^1l(4t² + 2t e^t + cos(t²)r),dt = integral0^1l(t² + e^raizt -2t e^t + 2tcos(t⁴) - cos(t²)r),dt²²²²²

Passo 6

Agora notamos as simplificações:
integral0^1 e^raizt,dt = 2integral0^1 u e^u,du = 2, integral0^1 2t e^t,dt = 2integral0^1 v e^v,dv = 2,

Passo 7

integral0^1 2tcos(t⁴),dt = integral0^1 cos(u²),du, integral0^1 cos(t²),dt = integral0^1 cos(u²),du,²²² então todas as partes com expo e cos se cancelam, sobrando apenas
integral0^1 t²,dt = l[tfract³3r]0^1 = tfrac13²³

Passo 8

Método (b): pelo Teorema de Green temos
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 2 - 1 = 1

Passo 9

Assim
integralC P,dx + Q,dy = integral duplaD 1,dA = integral0^1(raizx - x²),dx = l[tfrac23x^3/2 - tfrac13x^3r]0^1 = tfrac13,² confirmando o mesmo resultado 1/3 em ambos os métodos.

Resposta

1/3

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