Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green.
é o limite da região englobada pelas parábolas
e
. Calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
Passo 1
Temos a curva C que é o contorno da região D limitada pelas parábolas y=x² e x=y². Essas curvas se intersectam em (0,0) e (1,1). Queremos calcular a integral de linha
em sentido anti–horário usando dois métodos: parametrização direta e Teorema de Green.
Passo 2
Método (a): dividimos C em dois trechos orientados para percorrer D no sentido positivo (anti–horário). O trecho C₁ vai de (0,0) a (1,1) ao longo de y=x², e C₂ volta de (1,1) a (0,0) ao longo de x=y².
Passo 3
No trecho C₁ parametrizamos por
com
. Então
,
e
Passo 4
No trecho C₂ parametrizamos por
com
de 1 até 0 (para voltar a (0,0)). Então
,
e
Passo 5
Somando C₁ e C₂ obtemos
Passo 6
Agora notamos as simplificações:
Passo 7
Passo 8
Método (b): pelo Teorema de Green temos
Passo 9
Assim
Resposta
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