Esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função racional
O conteúdo envolve análise de funções racionais: domínio, assíntotas verticais e horizontal, interceptos com os eixos, sinais em cada região e comportamento limite. Vamos obter essas informações para depois desenhar cada parte do gráfico.
Passo 2
Encontramos o domínio analisando o denominador
Ele se anula em
e em
, portanto
Passo 3
As assíntotas verticais ocorrem onde o denominador zera. Calculamos os limites laterais:
Logo, há assíntotas verticais em
e em
.
Passo 4
Para a assíntota horizontal comparamos os graus do numerador e do denominador (ambos de grau 2). O coeficiente líder é 1 em cada um, então
Há, portanto, a assíntota horizontal
.
Passo 5
Interceptos com os eixos:
– Intercepto em : zeramos
. Assim,
, e existe o ponto
.
– Intercepto em : ocorre em
, já encontrado
.
– Intercepto em
– Intercepto em
Passo 6
Analisando o sinal de
em cada intervalo do domínio:
Para
, denomínio
e numerador
, logo
.
Para , denomínio
, numerador
, logo
exceto em
onde
.
Para , denomínio
e numerador
, logo
.
Para
Para
Passo 7
Comportamento em cada ramo:
- Para
: ao aproximar de pela esquerda e quando . O gráfico desce de para a assíntota , cruzando-a em (pois ). - Para
: em e em . Há um máximo local em , onde o gráfico toca o eixo e retorna para . - Para
: em e em . O gráfico desce de para a assíntota , permanecendo sempre positivo.
Resposta
O esboço apresenta:
– Domínio .
– Assíntotas verticais em e
.
– Assíntota horizontal em .
– Intercepto .
– Ramo em descendo de
para
, cruzando
em
.
– Ramo em negativo, tendendo a
nas bordas e com máximo em
.
– Ramo em decrescendo de
para
.
– Domínio
– Assíntotas verticais em
– Assíntota horizontal em
– Intercepto
– Ramo em
– Ramo em
– Ramo em