Esboce o gráfico.
f(x)=x^2x^2-x-2

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função racional
f(x)=x^2x^2-x-2
O conteúdo envolve análise de funções racionais: domínio, assíntotas verticais e horizontal, interceptos com os eixos, sinais em cada região e comportamento limite. Vamos obter essas informações para depois desenhar cada parte do gráfico.

Passo 2

Encontramos o domínio analisando o denominador
x^2-x-2=(x-2)(x+1)
Ele se anula em x=2 e em x=-1, portanto
Domínio=Rsetminus-1,2 í

Passo 3

As assíntotas verticais ocorrem onde o denominador zera. Calculamos os limites laterais:
limxto2^+f(x)=+infty, limxto2^-f(x)=-infty,
limxto(-1)^+f(x)=-infty, limxto(-1)^-f(x)=+infty
Logo, há assíntotas verticais em x=2 e em x=-1.

Passo 4

Para a assíntota horizontal comparamos os graus do numerador e do denominador (ambos de grau 2). O coeficiente líder é 1 em cada um, então
limxtopminftyf(x)=1
Há, portanto, a assíntota horizontal y=1.

Passo 5

Interceptos com os eixos:
– Intercepto em x: zeramos ;x^2=0implies x=0. Assim, f(0)=0, e existe o ponto (0,0).
– Intercepto em y: ocorre em x=0, já encontrado (0,0).

Passo 6

Analisando o sinal de f(x) em cada intervalo do domínio:
Para x<-1, denomínio (x-2)(x+1)>0 e numerador x^2>0, logo f>0.
Para -1<x<2, denomínio (x-2)(x+1)<0, numerador >0, logo f<0 exceto em x=0 onde f=0.
Para x>2, denomínio >0 e numerador >0, logo f>0.

Passo 7

Comportamento em cada ramo:
  1. Para x<-1: ;fto+infty ao aproximar de -1 pela esquerda e ;fto1 quando xto-infty. O gráfico desce de +infty para a assíntota y=1, cruzando-a em x=-2 (pois f(-2)=1).
  2. Para -1<x<2: ;fto-infty em xto-1^+ e ;fto-infty em xto2^-. Há um máximo local em (0,0), onde o gráfico toca o eixo x e retorna para -infty.
  3. Para x>2: ;fto+infty em xto2^+ e ;fto1 em xto+infty. O gráfico desce de +infty para a assíntota y=1, permanecendo sempre positivo.

Resposta

O esboço apresenta:
– Domínio Rsetminus-1,2.
– Assíntotas verticais em x=-1 e x=2.
– Assíntota horizontal em y=1.
– Intercepto (0,0).
– Ramo em x<-1 descendo de +infty para 1, cruzando y=1 em (-2,1).
– Ramo em (-1,2) negativo, tendendo a -infty nas bordas e com máximo em (0,0).
– Ramo em x>2 decrescendo de +infty para 1.

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