Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO DE VARIAÇÃO DE PARÂMETROS.
y^prime prime+y=tan t

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y'' + y = tan t
e pede a solução geral usando o método de variação de parâmetros. O conteúdo envolvido é: resolver a homogênea associada, encontrar duas soluções lineares independentes, calcular o Wronskiano e depois usar as fórmulas de variação de parâmetros para obter uma solução particular.

Passo 2

Começamos pela homogênea
y'' + y = 0
As soluções fundamentais são
y1(t)=cos t, y2(t)=sin t
Portanto a solução geral da homogênea é
yh(t)=C1cos t + C2sin t

Passo 3

No método de variação de parâmetros buscamos uma particular da forma
yp(t)=u1(t),y1(t)+u2(t),y2(t)
com as condições
u1',y1+u2',y2=0, u1',y1'+u2',y2'=tan t
O Wronskiano das soluções y1,y2 é
W(t)= cos t & sin t -sin t & cos t =cos^2t+sin^2t=1

Passo 4

As fórmulas para u1' e u2' ficam
u1'=-y2,tan tW=-sin t;tan t=-sin^2tcos t,
u2'=y1,tan tW=cos t;tan t=sin t
Para integrar u1' note que
sin^2tcos t=1-cos^2tcos t=sec t-cos t,
logo
u1'=-(sec t-cos t)=-sec t+cos t, u2'=sin t

Passo 5

Integramos para obter u1 e u2:
u1(t)=integral(-sec t+cos t),dt =-integralsec t,dt+integralcos t,dt =-lnl|sec t+tan tr|+sin t,
u2(t)=integralsin t,dt=-cos t
Assim a solução particular é
yp(t)=u1(t)cos t + u2(t)sin t =l(-ln|sec t+tan t|+sin tr)cos t +(-cos t)sin t =-cos t;lnl|sec t+tan tr|

Passo 6

A solução geral da equação dada é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=yh(t)+yp(t) =C1cos t + C2sin t -cos t;lnl|sec t+tan tr|

Resposta

y(t)=C1cos t + C2sin t -cos t;lnl|sec t+tan tr|

Exercícios relacionados