Esboce o gráfico de
, analisando a função
através de derivadas e cálculos de limites apropriados.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico de
e analisar a função usando derivadas e limites. Informações dadas explicitamente:
Dados relevantes que extraí do enunciado (não resolvo nada ainda, apenas listo):
- A expressão contém
, logo está definida para . - Precisamos calcular limites em
e . - Precisamos calcular
e para estudar monotonicidade e concavidade. - Devemos identificar assíntotas, zeros, pontos críticos e pontos de inflexão, e usar isso para esboçar o gráfico.
Passo 2
Domínio, paridade e limites básicos (intuição).
- Domínio:
, então
- Paridade: calculo
para ver simetrias.
Portanto
é ímpar:
. Isso já nos diz que o ramo à esquerda é o espelho com sinal trocado do ramo à direita.
- Faixa de valores (bounded): como
para todo ,
Logo
.
Passo 3
Limites em infinito (assíntota horizontal).
Use . Quando
temos
, e
. Então
Use
Assim
é assíntota horizontal em ambos os lados. Para saber de que lado a curva se aproxima de
, faço uma expansão para
grande: com
pequeno,
Logo para
temos
(aproxima por baixo), e para
temos
(aproxima por cima). Isso complementa o esboço da assíntota.
Passo 4
Limites em
e
(comportamento próximo de
).
- Para
temos e , então
- Para
temos e , então
Portanto há uma descontinuidade do tipo salto em
: limite pela esquerda
, pela direita
. A função não está definida em
e não há assíntota vertical, porque os limites laterais são finitos.
Passo 5
Zeros da função e interceptos.
Resolver :
Resolver
o que não tem solução em
. Portanto
nunca atinge
(apesar de se aproximar de
quando
). Não há intercepto com o eixo
. Não há valor em
, logo nenhum intercepto com o eixo
.
Passo 6
Derivada primeira — cálculo detalhado e interpretação (monotonicidade).
Quero para
. Vou usar regra da cadeia e derivada de
.
Escrevo com
e
.
Quero
Escrevo
- Primeiro
- Como
, temos .
Pelo produto da cadeia:
Análise do sinal: para todo
temos
e
e
. Logo
para todo
. Conclusões:
-
é estritamente crescente em cada intervalo conectado do domínio: em e em . - Não existem extremos locais (mínimos ou máximos interiores) porque não há ponto com
no domínio. - Limites do derivado: usar comportamento exponencial para ver que
nos extremos: -
: e -
: cresce muito, , então (o exponencial domina); similarmente dá .
-
Passo 7
Derivada segunda — cálculo, sinal e pontos de inflexão.
Usarei a forma com
. Já que
(faça a derivada com produto/quotient rule se quiser confirmar), aplico a regra da cadeia:
Usarei a forma
Agrupando os termos e simplificando obtemos (faça a álgebra passo a passo para praticar):
Observe que o fator
tem sinal negativo multiplicado por um fator positivo (exceto pelo sinal do termo entre parênteses). Assim o sinal de
é o oposto do sinal do parêntese
Para estudar concavidade precisamos estudar onde
é positivo ou negativo. Algumas observações simples ajudam:
- Próximo de
: é muito grande, e , então domina e é muito negativo, logo . Como , temos para pequeno e positivo (concavidade para cima perto de ). - Para
grande e positivo, e domina, então e assim para grande (concavidade para baixo à direita). - Pelo comportamento oposto na parte negativa (e usando que a função é ímpar), deduz-se que existe uma mudança de concavidade (ponto de inflexão) em cada ramo: um em
e outro em . Como é ímpar, esses pontos são simétricos: se é inflexão, então também é.
Para localizar numericamente o ponto de inflexão positivo resolvemos a equação, que é equivalente a
Essa equação é transcendental, mas numericamente apresenta uma solução positiva aproximadamente
Conclusão sobre concavidade:
- Em
com : (concavidade para cima). - Em
: (concavidade para baixo). - Simetricamente, em
temos concavidade para cima e em concavidade para baixo (devido à ímparidade).
Passo 8
Resumo das propriedades importantes úteis para o esboço
- Domínio:
. - Imagem:
. - Paridade:
é ímpar: . - Limites:
- Monotonicidade:
para todo estritamente crescente em e em . - Zeros: nenhum (não corta o eixo
). - Assíntotas: horizontal
para ; não há assíntota vertical (saltos finitos em ). - Concavidade: há dois pontos de inflexão simétricos aproximadamente em
. À direita do zero: concavidade muda de cima (próximo a ) para baixo (para grandes). À esquerda do zero a concavidade é simétrica invertida.
Passo 9
Como esboçar o gráfico (passo a passo prático para a prova)
- Trace o eixo
e . Marque e e a assíntota horizontal . - No ramo
: a função começa (próximo de ) perto de , cresce suavemente (derivada pequena perto de ), é concava para cima até , depois passa a concava para baixo, aproxima-se de vindo de baixo (já que para aproximamos por valores negativos). - No ramo
: por simetria ímpar, desenhe o espelho com sinal trocado do ramo direito: começa (quando se aproxima de ) perto de , cresce vindo de valores positivos menores, muda concavidade em e aproxima-se de por cima quando . - Não desenhe ponto em
: há um salto do valor limite esquerdo para o direito . - Não há cruzamento do eixo
— a curva fica sempre entre e .
Resposta
Domínio:
Imagem:
Paridade: é ímpar (
)
Limites:
Monotonicidade: para todo
(estritamente crescente em
e em
)
Zeros: nenhum (não existe com
)
Assíntotas: horizontal (em
); não há assíntota vertical (salto finito em
)
Concavidade e inflexão: . Há dois pontos de inflexão simétricos aproximadamente em
; à direita de
a concavidade vai de cima (próximo de
) para baixo (para
grandes), com o espelho simétrico à esquerda.
Esboço qualitativo: dois ramos crescentes, limitados entre e
, saltando de
(pela esquerda) para
(pela direita) em
, e aproximando-se da assíntota horizontal
quando
.
Imagem:
Paridade:
Limites:
Monotonicidade:
Zeros: nenhum (não existe
Assíntotas: horizontal
Concavidade e inflexão:
Esboço qualitativo: dois ramos crescentes, limitados entre