Esboce o gráfico de f(x)=\frac{2}{1+e^{1 / x}}-1, analisando a função f através de derivadas e cálculos de limites apropriados.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de f(x)=\dfrac{2}{1+e^{1/x}}-1 e analisar a função usando derivadas e limites. Informações dadas explicitamente:
f(x)=\frac{2}{1+e^{1/x}}-1.
Dados relevantes que extraí do enunciado (não resolvo nada ainda, apenas listo):
  • A expressão contém e^{1/x}, logo f está definida para x\neq0.
  • Precisamos calcular limites em x\to0^\pm e x\to\pm\infty.
  • Precisamos calcular f'(x) e f''(x) para estudar monotonicidade e concavidade.
  • Devemos identificar assíntotas, zeros, pontos críticos e pontos de inflexão, e usar isso para esboçar o gráfico.

Passo 2

Domínio, paridade e limites básicos (intuição).
  • Domínio: x\neq0, então
\text{dom}(f)=(-\infty,0)\cup(0,\infty).
  • Paridade: calculo f(-x) para ver simetrias.
f(-x)=\frac{2}{1+e^{-1/x}}-1=\frac{2e^{1/x}}{1+e^{1/x}}-1=\frac{e^{1/x}-1}{e^{1/x}+1}=-\frac{1-e^{1/x}}{1+e^{1/x}}=-f(x).
Portanto f é ímpar: f(-x)=-f(x). Isso já nos diz que o ramo à esquerda é o espelho com sinal trocado do ramo à direita.
  • Faixa de valores (bounded): como e^{1/x}>0 para todo x\neq0,
0<\frac{2}{1+e^{1/x}}<2\quad\Rightarrow\quad -1< f(x) <1.
Logo \operatorname{Im}(f)=(-1,1).

Passo 3

Limites em infinito (assíntota horizontal).
Use t=\dfrac{1}{x}. Quando x\to\pm\infty temos t\to0, e e^{1/x}=e^t\to1. Então
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\frac{2}{1+1}-1=\frac{2}{2}-1=0.
Assim y=0 é assíntota horizontal em ambos os lados. Para saber de que lado a curva se aproxima de 0, faço uma expansão para x grande: com t=1/x pequeno,
e^t\approx 1+t \quad\Rightarrow\quad f(x)\approx \frac{2}{2+t}-1=\frac{2-(2+t)}{2+t}=-\frac{t}{2+t}\approx -\frac{t}{2}=-\frac{1}{2x}.
Logo para x\to+\infty temos f(x)\approx -\dfrac{1}{2x}<0 (aproxima por baixo), e para x\to-\infty temos f(x)\approx -\dfrac{1}{2x}>0 (aproxima por cima). Isso complementa o esboço da assíntota.

Passo 4

Limites em 0^+ e 0^- (comportamento próximo de x=0).
  • Para x\to0^+ temos 1/x\to+\infty e e^{1/x}\to+\infty, então
\lim_{x\to0^+} f(x)=\lim_{x\to0^+}\left(\frac{2}{1+e^{1/x}}-1\right)=\frac{2}{+\infty}-1=0-1=-1.
  • Para x\to0^- temos 1/x\to-\infty e e^{1/x}\to0, então
\lim_{x\to0^-} f(x)=\frac{2}{1+0}-1=2-1=1.
Portanto há uma descontinuidade do tipo salto em x=0: limite pela esquerda =1, pela direita =-1. A função não está definida em 0 e não há assíntota vertical, porque os limites laterais são finitos.

Passo 5

Zeros da função e interceptos.
Resolver f(x)=0:
\frac{2}{1+e^{1/x}}-1=0 \Rightarrow \frac{2}{1+e^{1/x}}=1 \Rightarrow 1+e^{1/x}=2 \Rightarrow e^{1/x}=1 \Rightarrow \frac{1}{x}=0,
o que não tem solução em x. Portanto f(x) nunca atinge 0 (apesar de se aproximar de 0 quando |x|\to\infty). Não há intercepto com o eixo x. Não há valor em x=0, logo nenhum intercepto com o eixo y.

Passo 6

Derivada primeira — cálculo detalhado e interpretação (monotonicidade).
Quero f'(x) para x\neq0. Vou usar regra da cadeia e derivada de e^{u}.
Escrevo f(x)=g(u) com u=\dfrac{1}{x} e g(u)=\dfrac{2}{1+e^u}-1.
  • Primeiro g'(u)=2\cdot\frac{d}{du}\left( (1+e^u)^{-1}\right)=2\cdot(-1)(1+e^u)^{-2}\cdot e^u=-\frac{2e^u}{(1+e^u)^2}.
  • Como u=\dfrac{1}{x}, temos u'(x)=-\dfrac{1}{x^2}.
    Pelo produto da cadeia:
f'(x)=g'(u)\cdot u'(x) = \left(-\frac{2e^{1/x}}{(1+e^{1/x})^2}\right)\left(-\frac{1}{x^2}\right)=\frac{2e^{1/x}}{x^2(1+e^{1/x})^2}.
Análise do sinal: para todo x\neq0 temos e^{1/x}>0 e x^2>0 e (1+e^{1/x})^2>0. Logo f'(x)>0 para todo x\neq0. Conclusões:
  • f é estritamente crescente em cada intervalo conectado do domínio: em (-\infty,0) e em (0,\infty).
  • Não existem extremos locais (mínimos ou máximos interiores) porque não há ponto com f'(x)=0 no domínio.
  • Limites do derivado: usar comportamento exponencial para ver que f'(x)\to0 nos extremos:
    • x\to\pm\infty: 1/x\to0 e f'(x)\approx \dfrac{2\cdot1}{x^2\cdot(1+1)^2}=\dfrac{2}{4x^2}=\dfrac{1}{2x^2}\to0.
    • x\to0^+: e^{1/x} cresce muito, (1+e^{1/x})^2\approx e^{2/x}, então f'(x)\approx\dfrac{2e^{1/x}}{x^2 e^{2/x}}=\dfrac{2e^{-1/x}}{x^2}\to0 (o exponencial domina); similarmente x\to0^- f'(x)\to0.

Passo 7

Derivada segunda — cálculo, sinal e pontos de inflexão.
Usarei a forma f'(x)=A(1/x)\,x^{-2} com A(u)=\dfrac{2e^u}{(1+e^u)^2}. Já que A'(u)=\dfrac{2e^u(1-e^u)}{(1+e^u)^3} (faça a derivada com produto/quotient rule se quiser confirmar), aplico a regra da cadeia:
f''(x)=A'(1/x)\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right)\cdot x^{-2} + A(1/x)\cdot(-2)x^{-3}.
Agrupando os termos e simplificando obtemos (faça a álgebra passo a passo para praticar):
\boxed{\,f''(x)=-\frac{2e^{1/x}\bigl( (1-e^{1/x}) + 2x(1+e^{1/x})\bigr)}{x^4(1+e^{1/x})^3}\,}.
Observe que o fator -\dfrac{2e^{1/x}}{x^4(1+e^{1/x})^3} tem sinal negativo multiplicado por um fator positivo (exceto pelo sinal do termo entre parênteses). Assim o sinal de f''(x) é o oposto do sinal do parêntese
B(x):=(1-e^{1/x})+2x(1+e^{1/x})=(1+2x)+e^{1/x}(2x-1).
Para estudar concavidade precisamos estudar onde B(x) é positivo ou negativo. Algumas observações simples ajudam:
  • Próximo de x=0^+: e^{1/x} é muito grande, e 2x-1<0, então e^{1/x}(2x-1) domina e é muito negativo, logo B(x)<0. Como f''(x)=-\text{const}\cdot B(x), temos f''(x)>0 para x pequeno e positivo (concavidade para cima perto de 0^+).
  • Para x grande e positivo, e^{1/x}\approx1 e 1+2x domina, então B(x)\approx 4x>0 e assim f''(x)<0 para x grande (concavidade para baixo à direita).
  • Pelo comportamento oposto na parte negativa (e usando que a função é ímpar), deduz-se que existe uma mudança de concavidade (ponto de inflexão) em cada ramo: um em (0,\tfrac12) e outro em (-\tfrac12,0). Como f é ímpar, esses pontos são simétricos: se x_0>0 é inflexão, então -x_0 também é.
    Para localizar numericamente o ponto de inflexão positivo resolvemos a equação B(x)=0, que é equivalente a
(2x-1)e^{1/x}+(1+2x)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad e^{1/x}=\frac{1+2x}{1-2x}.
Essa equação é transcendental, mas numericamente apresenta uma solução positiva aproximadamente
x\approx 0,417\quad\text{(e então outro em }x\approx -0,417\text{)}.ã
Conclusão sobre concavidade:
  • Em (0,x_{\mathrm{inf}}) com x_{\mathrm{inf}}\approx0,417: f''(x)>0 (concavidade para cima).
  • Em (x_{\mathrm{inf}},\infty): f''(x)<0 (concavidade para baixo).
  • Simetricamente, em (-\infty,-x_{\mathrm{inf}}) temos concavidade para cima e em (-x_{\mathrm{inf}},0) concavidade para baixo (devido à ímparidade).

Passo 8

Resumo das propriedades importantes úteis para o esboço
  • Domínio: (-\infty,0)\cup(0,\infty).
  • Imagem: (-1,1).
  • Paridade: f é ímpar: f(-x)=-f(x).
  • Limites: \lim_{x\to 0^-} f(x)=1,\qquad \lim_{x\to 0^+} f(x)=-1,\qquad \lim_{x\to\pm\infty} f(x)=0.
  • Monotonicidade: f'(x)>0 para todo x\neq0 \Rightarrow estritamente crescente em (-\infty,0) e em (0,\infty).
  • Zeros: nenhum (não corta o eixo x).
  • Assíntotas: horizontal y=0 para x\to\pm\infty; não há assíntota vertical (saltos finitos em x=0).
  • Concavidade: há dois pontos de inflexão simétricos aproximadamente em x\approx\pm0,417. À direita do zero: concavidade muda de cima (próximo a 0^+) para baixo (para x grandes). À esquerda do zero a concavidade é simétrica invertida.

Passo 9

Como esboçar o gráfico (passo a passo prático para a prova)
  1. Trace o eixo x e y. Marque y=1 e y=-1 e a assíntota horizontal y=0.
  2. No ramo x>0: a função começa (próximo de 0^+) perto de -1, cresce suavemente (derivada pequena perto de 0^+), é concava para cima até x\approx0,417, depois passa a concava para baixo, aproxima-se de 0 vindo de baixo (já que para x\to\infty aproximamos por valores negativos).
  3. No ramo x<0: por simetria ímpar, desenhe o espelho com sinal trocado do ramo direito: começa (quando x se aproxima de 0^{-}) perto de +1, cresce vindo de valores positivos menores, muda concavidade em -0,417 e aproxima-se de 0 por cima quando x\to-\infty.
  4. Não desenhe ponto em x=0: há um salto do valor limite esquerdo =1 para o direito =-1.
  5. Não há cruzamento do eixo x — a curva fica sempre entre -1 e 1.

Resposta

Domínio: (-\infty,0)\cup(0,\infty)
Imagem: (-1,1)
Paridade: f é ímpar ( f(-x)=-f(x))
Limites: \displaystyle \lim_{x\to0^-}f(x)=1,\\ \lim_{x\to0^+}f(x)=-1,\\ \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0
Monotonicidade: f'(x)=\dfrac{2e^{1/x}}{x^2(1+e^{1/x})^2}>0 para todo x\neq0 (estritamente crescente em (-\infty,0) e em (0,\infty))
Zeros: nenhum (não existe x com f(x)=0)
Assíntotas: horizontal y=0 (em \pm\infty); não há assíntota vertical (salto finito em x=0)
Concavidade e inflexão: f''(x)=-\dfrac{2e^{1/x}\bigl((1-e^{1/x})+2x(1+e^{1/x})\bigr)}{x^4(1+e^{1/x})^3}. Há dois pontos de inflexão simétricos aproximadamente em x\approx\pm0{,}417; à direita de 0 a concavidade vai de cima (próximo de 0^+) para baixo (para x grandes), com o espelho simétrico à esquerda.
Esboço qualitativo: dois ramos crescentes, limitados entre -1 e 1, saltando de 1 (pela esquerda) para -1 (pela direita) em x=0, e aproximando-se da assíntota horizontal y=0 quando |x|\to\infty.

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