Calcule as derivadas das seguintes funções.
y=\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}

Passo 1

Neste exercício vamos encontrar a derivada de
y = \frac{e^x - 1}{e^x + 1}.
O conteúdo aqui é derivada de quociente de funções, e vamos usar a regra do quociente junto com a derivada de e^x.

Passo 2

Identificamos
u(x) = e^x - 1
e
v(x) = e^x + 1.
A regra do quociente diz:
y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v. Como \frac{d}{dx}e^x = e^x e a derivada de constante é zero, temos
u'(x) = e^x
e
v'(x) = e^x.

Passo 4

Substituindo na regra do quociente:
y' = \frac{e^x\,(e^x + 1) - (e^x - 1)\,e^x}{(e^x + 1)^2}.
No numerador simplifica assim:
e^x(e^x + 1) - e^x(e^x - 1) = e^{2x} + e^x - e^{2x} + e^x = 2e^x.
Logo,
y' = \frac{2e^x}{(e^x + 1)^2}.

Resposta

y' = \frac{2e^x}{(e^x + 1)^2}.

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