Encontre o limite. Use a Regra de L’Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L’Hôspital nāo for aplicável, explique por quê.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{4}-1}{x^{5}-1}

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o limite
\lim_{x\to 1}\frac{x^{4}-1}{x^{5}-1}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão do numerador é \,x^{4}-1\,.
  • A expressão do denominador é \,x^{5}-1\,.
  • O ponto de limite é x\to 1.
  • Ao substituir x=1 diretamente obtemos a forma indeterminada 0/0, pois 1^{4}-1=0 e 1^{5}-1=0.

Passo 2

O que significa termos a forma indeterminada \,0/0\,? Significa que a substituição direta não determina o valor do limite — pode ser qualquer número finito, infinito ou inexistente — então precisamos manipular a expressão (ou usar um teorema como a Regra de L’Hôspital) para simplificá‑la e obter o valor do limite. Vamos primeiro usar um método elementar (fatoração), que costuma ser rápido aqui.

Passo 3

Fórmula útil (diferença de potências): para qualquer inteiro n\ge 1 vale
x^{n}-1=(x-1)\bigl(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1\bigr).
Pequena verificação: multiplicando o fator à direita temos uma soma telescópica que resulta em x^{n}-1. Isso é uma identidade básica que permite “fatorar” x^{n}-1 extraindo o fator (x-1).

Passo 4

Aplique a identidade aos dois polinômios do problema:
x^{4}-1=(x-1)\bigl(x^{3}+x^{2}+x+1\bigr)
e
x^{5}-1=(x-1)\bigl(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\bigr).
Portanto a fração pode ser escrita como
\frac{x^{4}-1}{x^{5}-1}=\frac{(x-1)\bigl(x^{3}+x^{2}+x+1\bigr)}{(x-1)\bigl(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\bigr)}.

Passo 5

Como estamos interessados em x próximo de 1 (mas não necessariamente igual a 1), podemos cancelar o fator comum (x-1) (válido para x\neq1). Após o cancelamento obtemos a expressão simplificada
\frac{x^{3}+x^{2}+x+1}{x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}.
Agora essa expressão é contínua em x=1, então podemos tomar o limite substituindo x=1 diretamente:
\lim_{x\to 1}\frac{x^{3}+x^{2}+x+1}{x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1} =\frac{1^{3}+1^{2}+1+1}{1^{4}+1^{3}+1^{2}+1+1} =\frac{4}{5}.

Passo 6

Comentário sobre a Regra de L’Hôspital: poderíamos também aplicar L’Hôspital porque a forma original é 0/0 e os numerador e denominador são diferenciáveis numa vizinhança de x=1. Derivando numerador e denominador temos
\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}-1\bigr)=4x^{3},\qquad \frac{d}{dx}\bigl(x^{5}-1\bigr)=5x^{4},
logo, pela Regra de L’Hôspital,
\lim_{x\to 1}\frac{x^{4}-1}{x^{5}-1} =\lim_{x\to 1}\frac{4x^{3}}{5x^{4}} =\lim_{x\to 1}\frac{4}{5x} =\frac{4}{5}.
Isso confirma o resultado obtido pela fatoração. A fatoração foi mais direta aqui, mas L’Hôspital também é aplicável e dá o mesmo valor.

Passo 7

Resumo final e incentivo: a técnica de fatoração de x^{n}-1 é muito útil em limites com ponto onde x=1 causa a forma 0/0. Quando vir algo como x^{m}-1 e x^{n}-1, sempre pense em fatorar e cancelar (x-1) antes de partir para derivadas. Você conseguiu — já é meio caminho andado!

Resposta

\displaystyle \frac{4}{5}

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