Encontre o limite. Use a Regra de L’Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L’Hôspital nāo for aplicável, explique por quê.
Passo 1
O enunciado pede que se calcule o limite
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão do numerador é
. - A expressão do denominador é
. - O ponto de limite é
. - Ao substituir
diretamente obtemos a forma indeterminada , pois e .
Passo 2
O que significa termos a forma indeterminada
? Significa que a substituição direta não determina o valor do limite — pode ser qualquer número finito, infinito ou inexistente — então precisamos manipular a expressão (ou usar um teorema como a Regra de L’Hôspital) para simplificá‑la e obter o valor do limite. Vamos primeiro usar um método elementar (fatoração), que costuma ser rápido aqui.
Passo 3
Fórmula útil (diferença de potências): para qualquer inteiro
vale
Pequena verificação: multiplicando o fator à direita temos uma soma telescópica que resulta em
. Isso é uma identidade básica que permite “fatorar”
extraindo o fator
.
Passo 4
Aplique a identidade aos dois polinômios do problema:
e
Portanto a fração pode ser escrita como
Passo 5
Como estamos interessados em
próximo de
(mas não necessariamente igual a
), podemos cancelar o fator comum
(válido para
). Após o cancelamento obtemos a expressão simplificada
Agora essa expressão é contínua em
, então podemos tomar o limite substituindo
diretamente:
Passo 6
Comentário sobre a Regra de L’Hôspital: poderíamos também aplicar L’Hôspital porque a forma original é
e os numerador e denominador são diferenciáveis numa vizinhança de
. Derivando numerador e denominador temos
logo, pela Regra de L’Hôspital,
Isso confirma o resultado obtido pela fatoração. A fatoração foi mais direta aqui, mas L’Hôspital também é aplicável e dá o mesmo valor.
Passo 7
Resumo final e incentivo: a técnica de fatoração de
é muito útil em limites com ponto onde
causa a forma
. Quando vir algo como
e
, sempre pense em fatorar e cancelar
antes de partir para derivadas. Você conseguiu — já é meio caminho andado!