Mostre que a função y=C_{1} e^{-x}+C_{2} e^{-2 x} é solução da equação diferencial y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=0.

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle y=C_{1} e^{-x}+C_{2} e^{-2 x} (onde \displaystyle C_{1} e \displaystyle C_{2} são constantes arbitrárias) e pede para mostrar que ela é solução da equação diferencial
y^{\prime\prime}+3y^{\prime}+2y=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função candidata é \displaystyle y=C_{1} e^{-x}+C_{2} e^{-2 x}.
  • A equação a verificar é \displaystyle y^{\prime\prime}+3y^{\prime}+2y=0.
    O objetivo é calcular \displaystyle y^{\prime} e \displaystyle y^{\prime\prime}, substituir na equação e verificar que o resultado é zero para quaisquer \displaystyle C_{1},C_{2}.

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada \displaystyle y^{\prime}. Lembre que a regra básica para derivar exponenciais é:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{ax}\bigr)=a e^{ax},
ou seja, a derivada de \displaystyle e^{ax} é \displaystyle a vezes \displaystyle e^{ax}. Exemplo rápido: \displaystyle \frac{d}{dx}e^{3x}=3e^{3x}.
Aplicando isso termo a termo em \displaystyle y:
\frac{d}{dx}\bigl(C_{1} e^{-x}\bigr)=C_{1}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}\bigr)=C_{1}\cdot(-1)e^{-x}=-C_{1}e^{-x},
\frac{d}{dx}\bigl(C_{2} e^{-2x}\bigr)=C_{2}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(e^{-2x}\bigr)=C_{2}\cdot(-2)e^{-2x}=-2C_{2}e^{-2x}.
Portanto
y^{\prime}=-C_{1}e^{-x}-2C_{2}e^{-2x}.

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada \displaystyle y^{\prime\prime} derivando \displaystyle y^{\prime} termo a termo, usando novamente \displaystyle \frac{d}{dx}e^{ax}=a e^{ax}.
Derivando o primeiro termo de \displaystyle y^{\prime}:
\frac{d}{dx}\bigl(-C_{1}e^{-x}\bigr)=-C_{1}\cdot(-1)e^{-x}=C_{1}e^{-x}.
Derivando o segundo termo:
\frac{d}{dx}\bigl(-2C_{2}e^{-2x}\bigr)=-2C_{2}\cdot(-2)e^{-2x}=4C_{2}e^{-2x}.
Assim
y^{\prime\prime}=C_{1}e^{-x}+4C_{2}e^{-2x}.

Passo 4

Substituímos \displaystyle y, \displaystyle y^{\prime} e \displaystyle y^{\prime\prime} na expressão \displaystyle y^{\prime\prime}+3y^{\prime}+2y e agrupamos termos em e^{-x} e e^{-2x}.
Escrevendo a soma completa:
y^{\prime\prime}+3y^{\prime}+2y = \bigl(C_{1}e^{-x}+4C_{2}e^{-2x}\bigr) +3\bigl(-C_{1}e^{-x}-2C_{2}e^{-2x}\bigr) +2\bigl(C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{-2x}\bigr).
Agora agrupe os coeficientes de e^{-x} e de e^{-2x} separadamente.
Para e^{-x}: os coeficientes são
C_{1}\quad(\text{de }y^{\prime\prime}),\qquad -3C_{1}\quad(\text{de }3y^{\prime}),\qquad 2C_{1}\quad(\text{de }2y).
Somando: \displaystyle C_{1}-3C_{1}+2C_{1}=0.
Para e^{-2x}: os coeficientes são
4C_{2}\quad(\text{de }y^{\prime\prime}),\qquad -6C_{2}\quad(\text{de }3y^{\prime}),\qquad 2C_{2}\quad(\text{de }2y).
Somando: \displaystyle 4C_{2}-6C_{2}+2C_{2}=0.
Portanto cada grupo é zero, e então
y^{\prime\prime}+3y^{\prime}+2y=0\cdot e^{-x}+0\cdot e^{-2x}=0.

Passo 5

Interpretação conceitual (útil para prova): mostramos por cálculo direto que a combinação linear dada anula a expressão. Isso também bate com a teoria: a equação característica associada a \displaystyle y^{\prime\prime}+3y^{\prime}+2y=0 é
r^{2}+3r+2=0,
que fatora como (r+1)(r+2)=0, dando raízes r=-1 e r=-2. As soluções fundamentais são \displaystyle e^{-x} e \displaystyle e^{-2x}, e pela propriedade de superposição de equações lineares homogêneas a combinação C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{-2x} é a solução geral. Aqui confirmamos isso por cálculo direto.

Passo 6

Conclusão final e incentivo: calculamos \displaystyle y^{\prime} e \displaystyle y^{\prime\prime}, substituímos e verificamos que a soma dá zero para quaisquer constantes \displaystyle C_{1},C_{2}. Logo a função dada é de fato solução da equação diferencial dada. Tá indo bem — esse tipo de verificação é um padrão rápido na prova: derivar, substituir e reduzir.

Resposta

A função \displaystyle y=C_{1} e^{-x}+C_{2} e^{-2 x} satisfaz \displaystyle y^{\prime\prime}+3y^{\prime}+2y=0 para quaisquer constantes \displaystyle C_{1},C_{2}.

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