Mostre que a função
é solução da equação diferencial
.
Passo 1
O enunciado dá a função
(onde
e
são constantes arbitrárias) e pede para mostrar que ela é solução da equação diferencial
Informações relevantes fornecidas:
- A função candidata é
. - A equação a verificar é
.
O objetivo é calculare , substituir na equação e verificar que o resultado é zero para quaisquer .
Passo 2
Vamos calcular a primeira derivada
. Lembre que a regra básica para derivar exponenciais é:
ou seja, a derivada de
é
vezes
. Exemplo rápido:
.
Aplicando isso termo a termo em
:
Portanto
Passo 3
Agora calculamos a segunda derivada
derivando
termo a termo, usando novamente
.
Derivando o primeiro termo de
:
Derivando o segundo termo:
Assim
Passo 4
Substituímos
,
e
na expressão
e agrupamos termos em
e
.
Escrevendo a soma completa:
Agora agrupe os coeficientes de
e de
separadamente.
Para
: os coeficientes são
Somando:
Para
: os coeficientes são
Somando:
Portanto cada grupo é zero, e então
Passo 5
Interpretação conceitual (útil para prova): mostramos por cálculo direto que a combinação linear dada anula a expressão. Isso também bate com a teoria: a equação característica associada a
é
que fatora como
, dando raízes
e
. As soluções fundamentais são
e
, e pela propriedade de superposição de equações lineares homogêneas a combinação
é a solução geral. Aqui confirmamos isso por cálculo direto.
Passo 6
Conclusão final e incentivo: calculamos
e
, substituímos e verificamos que a soma dá zero para quaisquer constantes
. Logo a função dada é de fato solução da equação diferencial dada. Tá indo bem — esse tipo de verificação é um padrão rápido na prova: derivar, substituir e reduzir.
Resposta
A função
satisfaz
para quaisquer constantes
.