Esboce o gráfico de F(x)=integral-infty^x f(t) d t, onde
f(t)=lllt & se & -1 <= t <= 1 0 & se & |t|>1 .

Passo 1

O enunciado define
F(x)=integral-infty^xf(t),dt,
onde
f(t)= t, & -1<= t<=1, 0, & |t|>1
O conteúdo é o Teorema Fundamental do Cálculo aplicado a uma função definida em partes; vamos calcular F(x) em cada região de x e, em seguida, esboçar o gráfico.

Passo 2

Para x<-1, todo o intervalo de integração está em (-infty,-1), onde f(t)=0. Logo
F(x)=integral-infty^x0,dt=0

Passo 3

Para -1<= x<=1, dividimos
F(x)=integral-infty^-1f(t),dt+integral-1^xf(t),dt =underbraceintegral-infty^-10,dt0+integral-1^xt,dt =integral-1^xt,dt
Calculando a primitiva,
integral-1^xt,dt =l[tfract^22r]t=-1^t=x =x^22-(-1)^22 =x^2-12
Portanto,
F(x)=x^2-12para -1<= x<=1

Passo 4

Para x>1, temos
F(x) =integral-infty^1f(t),dt+integral1^xf(t),dt =integral-1^1t,dt+integral1^x0,dt =l[tfract^22r]-1^1 =12-12=0
Logo
F(x)=0para x>1

Passo 5

Resumindo a função
O gráfico é constante igual a zero até de a (atingindo mínimo em ) e volta a ser zero para .

Resposta

F(x)= 0, & x<=-1, dfracx^2-12, & -1<= x<=1, 0, & x>=1

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