Esboce o gráfico.
Passo 1
Vamos esboçar o gráfico de f(x)=x−lnx; o conteúdo é esboço de curva, e vamos precisar do domínio, derivadas para monotonicidade e concavidade, limites para comportamento nas extremidades e valor de extremos.
Passo 2
O domínio de f é dado por ln x definido, logo x>0. Assim f está definida em (0,∞).
Passo 3
Calculemos a primeira derivada para ver onde f cresce ou decresce. Temos
Igualando a zero: 1−1/x=0 ⇒ x=1. Para 0<x<1 temos f’(x)<0 (decrescente) e para x>1 f’(x)>0 (crescente).
Passo 4
Agora a segunda derivada para ver a concavidade. Temos
Isso significa que a curva é convexa (côncava para cima) em todo o domínio.
Passo 5
Vamos analisar os limites nas extremidades. Primeiro,
ou seja a função vai ao infinito quando x→0+. E
pois x cresce mais rápido que ln x.
Passo 6
O único ponto crítico é x=1. Calculando f(1) obtemos
Como f muda de decrescente para crescente e f’’>0, esse ponto é um mínimo global.
Passo 7
Resumo do esboço: em x→0+ a curva sobe para +∞; ela decresce até (1,1), ponto de mínimo; depois cresce para +∞ conforme x→∞; é sempre convexa e fica acima do eixo x.
Resposta
O gráfico de f(x)=x−lnx é uma curva definida para x>0, que vai a +∞ quando x→0+, decresce até o ponto de mínimo (1,1) e depois cresce para +∞ quando x→∞. A curva é sempre convexa (côncava para cima) e não cruza o eixo x.