Esboce o gráfico.
f(x)=x-ln x

Passo 1

Vamos esboçar o gráfico de f(x)=x−lnx; o conteúdo é esboço de curva, e vamos precisar do domínio, derivadas para monotonicidade e concavidade, limites para comportamento nas extremidades e valor de extremos.

Passo 2

O domínio de f é dado por ln x definido, logo x>0. Assim f está definida em (0,∞).

Passo 3

Calculemos a primeira derivada para ver onde f cresce ou decresce. Temos
f'(x)=ddx(x−ln x)=1−1x
Igualando a zero: 1−1/x=0 ⇒ x=1. Para 0<x<1 temos f’(x)<0 (decrescente) e para x>1 f’(x)>0 (crescente).

Passo 4

Agora a segunda derivada para ver a concavidade. Temos
f''(x)=ddxl(1−1xr)=1x^2>0forall x>0
Isso significa que a curva é convexa (côncava para cima) em todo o domínio.

Passo 5

Vamos analisar os limites nas extremidades. Primeiro,
limxto0+f(x)=limxto0+l(x−ln xr)=0−(−∞)=+∞,
ou seja a função vai ao infinito quando x→0+. E
limxto+∞f(x)=limxto+∞l(x−ln xr)=+∞,
pois x cresce mais rápido que ln x.

Passo 6

O único ponto crítico é x=1. Calculando f(1) obtemos
f(1)=1−ln1=1−0=1
Como f muda de decrescente para crescente e f’’>0, esse ponto é um mínimo global.

Passo 7

Resumo do esboço: em x→0+ a curva sobe para +∞; ela decresce até (1,1), ponto de mínimo; depois cresce para +∞ conforme x→∞; é sempre convexa e fica acima do eixo x.

Resposta

O gráfico de f(x)=x−lnx é uma curva definida para x>0, que vai a +∞ quando x→0+, decresce até o ponto de mínimo (1,1) e depois cresce para +∞ quando x→∞. A curva é sempre convexa (côncava para cima) e não cruza o eixo x.

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