Esboce o gráfico.
f(x)=raiz[3]x^2-1

Passo 1

A função dada é f(x)=\sqrt[3]{x^{2}-1}, o conteúdo é esboço de gráfico de uma função envolvendo raiz cúbica, e vamos precisar estudar domínio, simetria, pontos notáveis, monotonicidade e comportamento para grandes |x|.

Passo 2

Para encontrar o domínio, note que a raiz cúbica está definida para todo número real. Logo, o domínio de f é o conjunto de todos os reais: R.

Passo 3

Para a simetria e interceptos, observe que f(–x)=\sqrt[3]{(-x){2}-1}=\sqrt[3]{x{2}-1}=f(x), ou seja, f é par e simétrica em relação ao eixo y. Os zeros vêm de x^{2}-1=0, então x=±1, gerando pontos (1,0) e (–1,0). Em x=0, f(0)=\sqrt[3]{-1}=-1, ponto (0,-1).

Passo 4

Para a monotonicidade, derivamos f:
f'(x)=ddxraiz[3]x^2-1=13(x^2-1)^-2/3cdot 2x=2x3(x^2-1)^2/3

Passo 5

No intervalo x>0, f’(x)>0, então f é crescente em (0,\infty). Por paridade, f’(x)<0 para x<0, logo f é decrescente em (–\infty,0). Assim, há um mínimo global em x=0, f(0)=-1.

Passo 6

Para o comportamento nas extremidades, conforme x→±∞ temos x{2}-1≈x{2}, então
f(x)=raiz[3]x^2-1approxraiz[3]x^2=|x|^2/3,
que cresce para +∞ de forma mais “achatada” que uma parábola. Juntando tudo, temos um vale em (0,-1), cruzamentos em (±1,0), e ramos simétricos crescendo para +∞.

Passo 7

A partir dessas informações, o esboço do gráfico mostra uma curva em forma de “U invertido suavizado”, simétrica em y, com mínimo em (0,-1) e ramos que se elevam lentamente para os lados.

Resposta

Gráfico simétrico em relação ao eixo y, com mínimo global em (0,-1), interceptos em (±1,0) e ramos crescendo para +∞ conforme |x|→∞, aproximando-se de |x|^{2/3}.

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