Esboce o gráfico.
Passo 1
A função dada é f(x)=\sqrt[3]{x^{2}-1}, o conteúdo é esboço de gráfico de uma função envolvendo raiz cúbica, e vamos precisar estudar domínio, simetria, pontos notáveis, monotonicidade e comportamento para grandes |x|.
Passo 2
Para encontrar o domínio, note que a raiz cúbica está definida para todo número real. Logo, o domínio de f é o conjunto de todos os reais:
.
Passo 3
Para a simetria e interceptos, observe que f(–x)=\sqrt[3]{(-x){2}-1}=\sqrt[3]{x{2}-1}=f(x), ou seja, f é par e simétrica em relação ao eixo y. Os zeros vêm de x^{2}-1=0, então x=±1, gerando pontos (1,0) e (–1,0). Em x=0, f(0)=\sqrt[3]{-1}=-1, ponto (0,-1).
Passo 4
Para a monotonicidade, derivamos f:
Passo 5
No intervalo x>0, f’(x)>0, então f é crescente em (0,\infty). Por paridade, f’(x)<0 para x<0, logo f é decrescente em (–\infty,0). Assim, há um mínimo global em x=0, f(0)=-1.
Passo 6
Para o comportamento nas extremidades, conforme x→±∞ temos x{2}-1≈x{2}, então
que cresce para +∞ de forma mais “achatada” que uma parábola. Juntando tudo, temos um vale em (0,-1), cruzamentos em (±1,0), e ramos simétricos crescendo para +∞.
Passo 7
A partir dessas informações, o esboço do gráfico mostra uma curva em forma de “U invertido suavizado”, simétrica em y, com mínimo em (0,-1) e ramos que se elevam lentamente para os lados.
Resposta
Gráfico simétrico em relação ao eixo y, com mínimo global em (0,-1), interceptos em (±1,0) e ramos crescendo para +∞ conforme |x|→∞, aproximando-se de |x|^{2/3}.