Esboce o gráfico de:
f(x)=|x-1|+|x+2|

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o gráfico da função
f(x)=|x-1|+|x+2|.
Informações relevantes fornecidas ou imediatamente visíveis:
  • A função é dada por soma de dois valores absolutos: |x-1| e |x+2|.
  • Os pontos onde os módulos mudam de sinal (os pontos de quebra) são quando os argumentos dos módulos são zero, isto é, em x=1 e x=-2.
  • O que se quer é um esboço do gráfico no plano x\times y (ou seja, conhecer a forma, inclinações, valores notáveis e pontos importantes para desenhar).

Passo 2

Conceito básico (aula rápida e prática sobre valor absoluto).
  • Definição: para qualquer número real a\), \[|a| = \begin{cases} a, & \text{se } a\ge 0,\\[4pt] -a, & \text{se } a<0. \end{cases}
  • Interpretação geométrica simples: |a|\] é a distância de \(a até 0 na reta. Assim, |x-1| é a distância entre x e 1, e |x+2| é a distância entre x e -2.
  • Estratégia para esboçar gráficos com módulos: dividir a reta real em intervalos onde cada argumento do módulo tem sinal fixo, reescrever a função sem módulos em cada intervalo (fica uma função linear por trecho), então analisar inclinações e valores nos pontos de quebra.]

Passo 3

Determinar os sinais dos argumentos em cada intervalo e reescrever f sem módulos.
  • Os pontos de quebra são x=-2 e x=1. Portanto consideramos os três intervalos: x\le -2, -2\le x\le 1 e x\ge 1.
Intervalo 1: x\le -2.
  • Aqui x+2\le 0 e x-1\le 0. Pela definição do módulo,
|x+2|=-(x+2)=-x-2, \qquad |x-1|=-(x-1)=1-x.
Logo, para x\le -2,
f(x)=(1-x)+(-x-2)=-2x-1.
Intervalo 2: -2\le x\le 1.
  • Aqui x+2\ge 0 e x-1\le 0. Então
|x+2|=x+2, \qquad |x-1|=1-x.
Logo, para -2\le x\le 1,
f(x)=(1-x)+(x+2)=3.
Observação importante: nesse intervalo a soma das duas distâncias é constante igual a 3.
Intervalo 3: x\ge 1.
  • Aqui x+2\ge 0 e x-1\ge 0. Assim
|x+2|=x+2, \qquad |x-1|=x-1.
Logo, para x\ge 1,
f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1.
(Estas expressões são funções lineares em cada intervalo.)

Passo 4

Analisar inclinações (derivadas por trecho) e continuidade.
  • Para x\le -2, f(x)=-2x-1 tem inclinação (coeficiente angular) -2.
  • Para -2<x<1, f(x)=3 é constante, inclinação 0.
  • Para x\ge 1, f(x)=2x+1 tem inclinação 2.
  • Verificar continuidade nos pontos de quebra:
\text{Em }x=-2:\quad f(-2)= -2(-2)-1=4-1=3,
\text{Em }x=1:\quad f(1)=2\cdot1+1=3.
Os valores nos limites laterais coincidem com 3. Portanto f é contínua em toda a reta e não há saltos nos pontos de quebra.

Passo 5

Pontos e valores úteis para desenhar o gráfico (calculei alguns para você plotar à mão).
  • Valor mínimo: como o trecho central é constante 3, o menor valor de f é 3, atingido para todo x em [-2,1].
  • Intercepto com o eixo y (em x=0):
f(0)=|0-1|+|0+2|=1+2=3.
  • Alguns pontos à esquerda e à direita para marcar a queda/subida linear:
f(-3) = -2(-3)-1=6-1=5, \qquad f(-4)= -2(-4)-1=8-1=7.
f(2)=2\cdot2+1=5, \qquad f(3)=2\cdot3+1=7.
  • Pontos de quebra: (-2,3) e (1,3). No intervalo entre eles a curva é uma reta horizontal.

Passo 6

Interpretação geométrica (ajuda a lembrar na prova).
  • Como mencionado, f(x)=|x-1|+|x+2| é a soma das distâncias de x até 1 e até -2. Pela desigualdade triangular na reta, essa soma é sempre maior ou igual à distância entre os dois pontos -2 e 1, que é 3. A igualdade ocorre quando x está entre os dois pontos; por isso o mínimo 3 ocorre para todo x\in[-2,1]. Isso explica por que existe um trecho horizontal no gráfico.

Passo 7

Como esboçar na prática (passo a passo para desenhar rápido no caderno):
  • Marque no eixo x os pontos -4,-3,-2,-1,0,1,2,3.
  • Marque no eixo y valores correspondentes: em x=-4 pense em 7, em -3 em 5, em -2 em 3, em -1,0,1 em 3, em 2 em 5, em 3 em 7.
  • Desenhe a reta com inclinação -2 que passa por (-2,3) indo para a esquerda; desenhe o segmento horizontal de (-2,3) até (1,3); desenhe a reta com inclinação 2 que parte de (1,3) e sobe para a direita.
  • O gráfico resultante é contínuo, com “fundo plano” (trecho horizontal) entre -2 e 1, e subidas lineares simétricas fora desse intervalo.

Resposta

f(x)= \begin{cases} -2x-1, & x\le -2,\\[4pt] 3, & -2\le x\le 1,\\[4pt] 2x+1, & x\ge 1. \end{cases}
Mínimo: f_{\min}=3, atingido para todo x\in[-2,1].]

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