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Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dá a expressão
- Pede o valor desse limite quando
tende a .
Passo 2
Condição inicial e estratégia escolhida (explicação de um teorema útil).
- Ao substituir
na expressão, o numerador vale e o denominador vale . Então temos uma forma indeterminada do tipo . - Um método padrão para tratar limites na forma indeterminada
é aplicar o Teorema de L’Hôpital. Enunciado (versão prática): se e são diferenciáveis numa vizinhança de (exceto possivelmente em ), e (ou ambos ), e se existir o limite , então
- Podemos aplicar L’Hôpital repetidas vezes se, após uma aplicação, ainda obtivermos uma forma indeterminada.
Passo 3
Aplicando L’Hôpital pela primeira vez (calcule as derivadas).
- Defino
e . - Calculo as derivadas:
- Pela regra de L’Hôpital:
desde que a nova razão tenha limite (ou seja, desde que possamos continuar a aplicar L’Hôpital). Agora verifique a nova forma ao aproximar
:
e
, ainda é
. Então precisamos aplicar L’Hôpital novamente.
Passo 4
Aplicando L’Hôpital pela segunda vez.
- Derivo novamente numerador e denominador:
- Então, aplicando L’Hôpital outra vez,
- Este último limite é direto: substituindo
dá . Assim o limite original vale .
Passo 5
Verificação alternativa rápida (expansão em série) — aula curta sobre séries de Taylor (checa o resultado).
- A função exponencial tem a expansão em série de Taylor em torno de
:
- Subtraindo
e obtemos:
- Dividindo por
:
- Ao fazer
os termos com somam zero, sobrando . Isso confirma o resultado obtido por L’Hôpital.