Avalie
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1-x}{x^{2}}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá a expressão \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1-x}{x^{2}}.
  • Pede o valor desse limite quando x tende a 0.

Passo 2

Condição inicial e estratégia escolhida (explicação de um teorema útil).
  • Ao substituir x=0 na expressão, o numerador vale e^{0}-1-0=0 e o denominador vale 0^{2}=0. Então temos uma forma indeterminada do tipo 0/0.
  • Um método padrão para tratar limites na forma indeterminada 0/0 é aplicar o Teorema de L’Hôpital. Enunciado (versão prática): se f e g são diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a), e \lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} g(x)=0 (ou ambos \pm\infty), e se existir o limite \lim_{x\to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
  • Podemos aplicar L’Hôpital repetidas vezes se, após uma aplicação, ainda obtivermos uma forma indeterminada.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital pela primeira vez (calcule as derivadas).
  • Defino f(x)=e^{x}-1-x e g(x)=x^{2}.
  • Calculo as derivadas:
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{x}-1-x\big)=e^{x}-1,
g'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=2x.
  • Pela regra de L’Hôpital:
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1-x}{x^{2}}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{2x},
desde que a nova razão tenha limite (ou seja, desde que possamos continuar a aplicar L’Hôpital). Agora verifique a nova forma ao aproximar x\to0: e^{0}-1=0 e 2\cdot 0=0, ainda é 0/0. Então precisamos aplicar L’Hôpital novamente.

Passo 4

Aplicando L’Hôpital pela segunda vez.
  • Derivo novamente numerador e denominador:
\frac{d}{dx}\big(e^{x}-1\big)=e^{x}, \qquad \frac{d}{dx}(2x)=2.
  • Então, aplicando L’Hôpital outra vez,
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{2x}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}}{2}.
  • Este último limite é direto: substituindo x=0 \dfrac{e^{0}}{2}=\dfrac{1}{2}. Assim o limite original vale \dfrac{1}{2}.

Passo 5

Verificação alternativa rápida (expansão em série) — aula curta sobre séries de Taylor (checa o resultado).
  • A função exponencial tem a expansão em série de Taylor em torno de 0:
e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+\cdots.
  • Subtraindo 1 e x obtemos:
e^{x}-1-x=\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+\cdots.
  • Dividindo por x^{2}:
\frac{e^{x}-1-x}{x^{2}}=\frac{1}{2}+\frac{x}{6}+\cdots.
  • Ao fazer x\to0 os termos com x somam zero, sobrando \tfrac{1}{2}. Isso confirma o resultado obtido por L’Hôpital.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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