Estude o sinal da expressão:
Passo 1
O enunciado pede para “estudar o sinal” da função
As perguntas implícitas que vamos responder são:
- Para quais
a função é positiva ( )? - Para quais
é negativa ( )? - Quais são as raízes (valores de
onde ) e o comportamento do sinal em torno delas?
Informações relevantes dadas no enunciado:
- O numerador é a diferença entre dois produtos envolvendo polinômios em
. - O denominador é
.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar algebricamente a expressão: fatorar e cancelar fatores que for possível. Escrevemos o numerador e tentamos fatorar um fator comum
.
Começamos indicando o numerador
:
Fatorando
em evidência:
Agora desenvolvemos o que está dentro do parêntese grande passo a passo:
Subtraindo:
Cancele os termos iguais e some os semelhantes:
Fatorando
:
Portanto o numerador ficou
Dividindo pelo denominador
obtemos a forma simplificada de
:
Passo 3
Agora uma observação importante sobre domínio e sinal do denominador: para todo
tem-se
, logo
. Assim
Isto implica que o denominador nunca muda de sinal (é sempre positivo) e não anula a função. Portanto o sinal de
é totalmente determinado pelo sinal do numerador simplificado
.
Passo 4
Estudemos o numerador
As raízes de
(e portanto de
) são os valores que anulam cada fator:
-
nunca zera, ignora-se. -
. -
.
Portanto as raízes de
são
Cada fator aparece com multiplicidade
(ou seja, são raízes simples), então o sinal de
troca ao passar por cada uma dessas raízes.
Passo 5
Vamos analisar o sinal de
por intervalos determinados pelas raízes
. É prático analisar o sinal de cada fator:
- O fator
é sempre positivo. - O fator
tem sinal: negativo em , zero em , positivo em . - O fator
tem sinal: negativo quando (isto é, ), zero em , positivo quando .
Agora combinamos os sinais por intervalo:
- Para
: é negativo e é negativo produto é positivo. - Para
: é negativo e é positivo produto é negativo. - Para
: é positivo e é positivo produto é positivo. - Para
: é positivo e é negativo produto é negativo.
Como o denominador é sempre positivo,
tem exatamente os mesmos sinais que
nos intervalos acima.
Passo 6
Resumo do comportamento do sinal (incluindo as raízes):
-
em . -
em . -
em .
Observação final: todas as raízes são simples, portanto o sinal de
efetivamente muda ao cruzar cada uma delas.