Estude o sinal da expressão:
f(x)=\frac{\left(x^{2}+1\right)^{2}\left(4 x^{3}+6 x\right)-\left(x^{4}+3 x^{2}\right)\left(x^{2}+1\right) \cdot 4 x}{\left(x^{2}+1\right)^{4}}

Passo 1

O enunciado pede para “estudar o sinal” da função
f(x)=\frac{\left(x^{2}+1\right)^{2}\left(4 x^{3}+6 x\right)-\left(x^{4}+3 x^{2}\right)\left(x^{2}+1\right)\cdot 4 x}{\left(x^{2}+1\right)^{4}}.
As perguntas implícitas que vamos responder são:
  • Para quais x\in\mathbb{R} a função f(x) é positiva ( f(x)>0)?
  • Para quais x\in\mathbb{R} f(x) é negativa ( f(x)<0)?
  • Quais são as raízes (valores de x onde f(x)=0) e o comportamento do sinal em torno delas?
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • O numerador é a diferença entre dois produtos envolvendo polinômios em x.
  • O denominador é \left(x^{2}+1\right)^{4}.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar algebricamente a expressão: fatorar e cancelar fatores que for possível. Escrevemos o numerador e tentamos fatorar um fator comum \left(x^{2}+1\right).
Começamos indicando o numerador N(x):
N(x)=\left(x^{2}+1\right)^{2}\left(4 x^{3}+6 x\right)-\left(x^{4}+3 x^{2}\right)\left(x^{2}+1\right)\cdot 4 x.
Fatorando \left(x^{2}+1\right) em evidência:
N(x)=\left(x^{2}+1\right)\Big((x^{2}+1)\,(4x^{3}+6x)-4x\,(x^{4}+3x^{2})\Big).
Agora desenvolvemos o que está dentro do parêntese grande passo a passo:
(x^{2}+1)(4x^{3}+6x)=4x^{3}(x^{2}+1)+6x(x^{2}+1)=4x^{5}+4x^{3}+6x^{3}+6x,
4x(x^{4}+3x^{2})=4x^{5}+12x^{3}.
Subtraindo:
(x^{2}+1)(4x^{3}+6x)-4x(x^{4}+3x^{2})=(4x^{5}+4x^{3}+6x^{3}+6x)-(4x^{5}+12x^{3}).
Cancele os termos iguais e some os semelhantes:
=4x^{5}-4x^{5} + (4x^{3}+6x^{3}-12x^{3}) +6x = -2x^{3}+6x.
Fatorando -2x^{3}+6x:
-2x^{3}+6x = 2x(3-x^{2}).
Portanto o numerador ficou
N(x)=\left(x^{2}+1\right)\cdot 2x(3-x^{2}).
Dividindo pelo denominador \left(x^{2}+1\right)^{4} obtemos a forma simplificada de f(x):
f(x)=\frac{N(x)}{\left(x^{2}+1\right)^{4}}=\frac{2x(3-x^{2})(x^{2}+1)}{(x^{2}+1)^{4}}=\frac{2x(3-x^{2})}{(x^{2}+1)^{3}}.

Passo 3

Agora uma observação importante sobre domínio e sinal do denominador: para todo x\in\mathbb{R} tem-se x^{2}\ge 0, logo x^{2}+1\ge 1>0. Assim
(x^{2}+1)^{3}>0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Isto implica que o denominador nunca muda de sinal (é sempre positivo) e não anula a função. Portanto o sinal de f(x) é totalmente determinado pelo sinal do numerador simplificado 2x(3-x^{2}).

Passo 4

Estudemos o numerador
g(x)=2x(3-x^{2}).
As raízes de g (e portanto de f) são os valores que anulam cada fator:
  • 2 nunca zera, ignora-se.
  • x=0.
  • 3-x^{2}=0 \Rightarrow x^{2}=3 \Rightarrow x=\pm\sqrt{3}.
Portanto as raízes de f são
x=-\sqrt{3},\quad x=0,\quad x=\sqrt{3}.
Cada fator aparece com multiplicidade 1 (ou seja, são raízes simples), então o sinal de f troca ao passar por cada uma dessas raízes.

Passo 5

Vamos analisar o sinal de g(x)=2x(3-x^{2}) por intervalos determinados pelas raízes -\sqrt{3}<0<\sqrt{3}. É prático analisar o sinal de cada fator:
  • O fator 2 é sempre positivo.
  • O fator x tem sinal: negativo em (-\infty,0), zero em x=0, positivo em (0,\infty).
  • O fator 3-x^{2} tem sinal: negativo quando x^{2}>3 (isto é, |x|>\sqrt{3}), zero em |x|=\sqrt{3}, positivo quando |x|<\sqrt{3}.
Agora combinamos os sinais por intervalo:
  • Para x<-\sqrt{3}: x é negativo e 3-x^{2} é negativo \Rightarrow produto 2x(3-x^{2}) é positivo.
  • Para -\sqrt{3}<x<0: x é negativo e 3-x^{2} é positivo \Rightarrow produto é negativo.
  • Para 0<x<\sqrt{3}: x é positivo e 3-x^{2} é positivo \Rightarrow produto é positivo.
  • Para x>\sqrt{3}: x é positivo e 3-x^{2} é negativo \Rightarrow produto é negativo.
Como o denominador é sempre positivo, f(x) tem exatamente os mesmos sinais que g(x) nos intervalos acima.

Passo 6

Resumo do comportamento do sinal (incluindo as raízes):
  • f(x)>0 em \;(-\infty,-\sqrt{3})\;\cup\;(0,\sqrt{3}).
  • f(x)=0 em \;x=-\sqrt{3},\;x=0,\;x=\sqrt{3}.
  • f(x)<0 em \;(-\sqrt{3},0)\;\cup\;(\sqrt{3},\infty).
Observação final: todas as raízes são simples, portanto o sinal de f efetivamente muda ao cruzar cada uma delas.

Resposta

f(x)>0 para x\in(-\infty,-\sqrt{3})\cup(0,\sqrt{3})
f(x)=0 em x=-\sqrt{3},\;x=0,\;x=\sqrt{3}
f(x)<0 para x\in(-\sqrt{3},0)\cup(\sqrt{3},\infty)

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