(4,0)Seja
© A função
é diferenciável em
? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é diferenciável em
. O conteúdo é diferenciabilidade de funções de duas variáveis e, para isso, vamos usar a definição de derivada parcial, a linearização no ponto e o teste de diferenciabilidade via limite de resta.
Passo 2
Para
a função é quociente de polinômios com denominador
, logo é suave (infinitamente diferenciável) nesses pontos. Portanto, sobra analisar apenas o ponto
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais em
pelas definições:
Assim, a linearização em
é
.
Passo 4
Para testar a diferenciabilidade em
, verificamos se
é zero. Escolhemos o caminho
, ou seja,
. Então
e
O limite não é zero (nem finito), logo
não é diferenciável em
.
Resposta
A função não é diferenciável em
, pois falha a condição de diferenciabilidade em
.