(4,0)Seja
f(x, y)=lll 2 x y^2x^2+y^4 & se & (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
© A função f é diferenciável em R^2 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)=2xy^2x^2+y^4&se (x,y)neq(0,0)0&se (x,y)=(0,0)
é diferenciável em R^2. O conteúdo é diferenciabilidade de funções de duas variáveis e, para isso, vamos usar a definição de derivada parcial, a linearização no ponto e o teste de diferenciabilidade via limite de resta.

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) a função é quociente de polinômios com denominador x^2+y^4neq0, logo é suave (infinitamente diferenciável) nesses pontos. Portanto, sobra analisar apenas o ponto (0,0).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais em (0,0) pelas definições:
partial fpartial x(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h=limhto00-0h=0,
partial fpartial y(0,0)=limkto0f(0,k)-f(0,0)k=limkto00-0k=0
Assim, a linearização em (0,0) é L(x,y)=0.

Passo 4

Para testar a diferenciabilidade em (0,0), verificamos se
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)-L(x,y)raizx^2+y^2= lim(x,y)to(0,0)f(x,y)raizx^2+y^2
é zero. Escolhemos o caminho x=y^2, ou seja, y=t, x=t^2. Então
f(t^2,t)=2,t^2,t^2t^4+t^4=1
e
f(t^2,t)raiz(t^2)^2+t^2=1raizt^4+t^2=1traiz1+t^2to+infty(tto0)
O limite não é zero (nem finito), logo f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

A função não é diferenciável em R^2, pois falha a condição de diferenciabilidade em (0,0).

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