Esboce o gráfico de
. Usando derivadas, determine os máximos e mínimos da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função
e, usando derivadas, encontrar onde a função tem máximos e mínimos. Pra isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas e análise de pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o comportamento da função. Precisamos saber para quais valores de
a função está definida. Observando
, vemos que:
-
está definido para todo , já que qualquer número real elevado a uma potência fracionária com denominador ímpar está definido. -
também está definido para todo , porque a raiz cúbica de qualquer número real existe.
Então, a função está definida para todos os reais
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada da função para identificar os pontos onde a inclinação da reta tangente é zero ou não existe, que são possíveis candidatos a máximos ou mínimos.
A função é:
Para derivar, vamos usar a regra do produto:
Calculando as derivadas individuais:
Substituindo de volta:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão da derivada para facilitar a resolução:
Podemos colocar os dois termos sob um denominador comum:
Passo 5
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero e também analisamos onde a derivada não existe.
- Derivada igual a zero:
O numerador deve ser zero:
- Derivada não existe:
A derivada não existe quando o denominador é zero:
Isso ocorre quando
ou
Então, temos três pontos críticos:
,
e
Passo 6
Vamos analisar cada ponto crítico para determinar se é máximo ou mínimo.
-
Em
: - A função
- Observando o comportamento ao redor de
, a função aumenta à medida que se aproxima de 0 a partir da direita.
- A função
-
Em
: - A função
- Para determinar se é máximo ou mínimo, podemos observar a derivada antes e depois desse ponto:
- Para
, (função crescente) - Para
, (função decrescente)
- Para
- Portanto,
é um ponto de máximo.
- A função
-
Em
: - A função
- Observando o comportamento ao redor de
, a função diminui à medida que se aproxima de 6 a partir da esquerda.
- A função
Passo 7
Resumindo:
- A função tem um ponto de máximo em
. - Nos extremos
e , a função atinge o valor mínimo de .
Resposta
A função
possui um máximo local em
e atinge valores mínimos em
e
.