Esboce o gráfico de f(x)=x^2 / 3(6-x)^1 / 3. Usando derivadas, determine os máximos e mínimos da função.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função e, usando derivadas, encontrar onde a função tem máximos e mínimos. Pra isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas e análise de pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o comportamento da função. Precisamos saber para quais valores de a função está definida. Observando , vemos que:
  • está definido para todo , já que qualquer número real elevado a uma potência fracionária com denominador ímpar está definido.
  • também está definido para todo , porque a raiz cúbica de qualquer número real existe.
Então, a função está definida para todos os reais .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da função para identificar os pontos onde a inclinação da reta tangente é zero ou não existe, que são possíveis candidatos a máximos ou mínimos.
A função é:
f(x) = x^2/3(6 - x)^1/3
Para derivar, vamos usar a regra do produto:
f'(x) = ddx( x^2/3 ) cdot (6 - x)^1/3 + x^2/3 cdot ddx( (6 - x)^1/3 )
Calculando as derivadas individuais:
ddx( x^2/3 ) = 23x^-1/3
ddx( (6 - x)^1/3 ) = 13(6 - x)^-2/3(-1) = -13(6 - x)^-2/3
Substituindo de volta:
f'(x) = 23x^-1/3(6 - x)^1/3 - 13x^2/3(6 - x)^-2/3

Passo 4

Vamos simplificar a expressão da derivada para facilitar a resolução:
f'(x) = 23 cdot (6 - x)^1/3x^1/3 - 13 cdot x^2/3(6 - x)^2/3
Podemos colocar os dois termos sob um denominador comum:

Passo 5

Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero e também analisamos onde a derivada não existe.
  1. Derivada igual a zero:
O numerador deve ser zero:
4 - xx^1/3(6 - x)^2/3 = 0
  1. Derivada não existe:
    A derivada não existe quando o denominador é zero:
4 - x = 0 Rightarrow x = 4
Isso ocorre quando x^1/3(6 - x)^2/3 = 0 ou
Então, temos três pontos críticos: , e

Passo 6

Vamos analisar cada ponto crítico para determinar se é máximo ou mínimo.
  1. Em :
    • A função
    • Observando o comportamento ao redor de , a função aumenta à medida que se aproxima de 0 a partir da direita.
  2. Em :
    • A função
    • Para determinar se é máximo ou mínimo, podemos observar a derivada antes e depois desse ponto:
      • Para , (função crescente)
      • Para , (função decrescente)
    • Portanto, é um ponto de máximo.
  3. Em :
    • A função
    • Observando o comportamento ao redor de , a função diminui à medida que se aproxima de 6 a partir da esquerda.

Passo 7

Resumindo:
  • A função tem um ponto de máximo em .
  • Nos extremos e , a função atinge o valor mínimo de .

Resposta

A função possui um máximo local em e atinge valores mínimos em e .

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