Resolva as inequações abaixo. Dê a resposta na notação de conjunto, de intervalo e numa representação na reta numérica:
.
Passo 1
Temos a inequação
. É uma inequação de razão em que o numerador envolve uma potência ímpar e o denominador é um polinômio de 2º grau. Para resolver, vamos estudar o sinal do numerador e do denominador separadamente e depois combiná-los.
Passo 2
Primeiro, identificamos as raízes (zeros) de numerador e denominador e fatoramos cada um:
Numerador:
é o mesmo que
. As raízes são
Numerador:
Denominador:
Passo 3
Agora vamos determinar o sinal de cada fator em cada intervalo chave:
Fator do numerador (antes da potência): .
Fator do denominador: .
Os pontos críticos na reta são: . Vamos testar o sinal em cada intervalo:
Fator do numerador (antes da potência):
Fator do denominador:
Os pontos críticos na reta são:
-
:
-
, ⇒ ⇒ numerador . -
, ⇒ denominador .
⇒ razão, não satisfaz.
-
:
-
, ⇒ ⇒ numerador . -
, ⇒ denominador .
⇒ razão, satisfaz.
-
:
-
, ⇒ numerador . -
, ⇒ denominador .
⇒ razão, não satisfaz.
-
:
-
, ⇒ numerador . -
, ⇒ denominador .
⇒ razão, satisfaz.
-
:
-
, ⇒ numerador . -
, ⇒ denominador .
⇒ razão, não satisfaz.
Passo 4
Agora coleto os intervalos onde
. Nos intervalos
e
a fração é positiva. Como queremos
, incluímos também os pontos onde a fração zera, isto é, onde o numerador é zero (
e
), desde que o denominador não seja zero nesses pontos. Excluímos
e
porque tornam o denominador zero.
Passo 5
Pronto! Temos a solução em três representações conforme pedido.
Resposta
Notação em conjunto:
Notação em intervalo:
Notação em intervalo:
Representação na reta numérica: segmento fechado em -3 até -1 aberto, e segmento fechado em 1 até 5 aberto (
).