Resolva as inequações abaixo. Dê a resposta na notação de conjunto, de intervalo e numa representação na reta numérica: (3-2 x-x^2)^17x^2-4 x-5 >= 0 S=[-3,-1) cup[1,5).

Passo 1

Temos a inequação (3-2x-x^2)^17x^2-4x-5>=0. É uma inequação de razão em que o numerador envolve uma potência ímpar e o denominador é um polinômio de 2º grau. Para resolver, vamos estudar o sinal do numerador e do denominador separadamente e depois combiná-los.

Passo 2

Primeiro, identificamos as raízes (zeros) de numerador e denominador e fatoramos cada um:
Numerador:
3-2x-x^2=0 é o mesmo que x^2+2x-3=0. As raízes são
x=-2pmraiz4+122=-2pm42implies x=1 ou x=-3 Como a potência é ímpar (17), o sinal de (3-2x-x^2)^17 é igual ao sinal de 3-2x-x^2.
Denominador:
x^2-4x-5=0 tem raízes
x=4pmraiz16+202=5 ou -1 Note que x=-1 e x=5 tornam o denominador zero, logo devem ser excluídos do domínio.

Passo 3

Agora vamos determinar o sinal de cada fator em cada intervalo chave:
Fator do numerador (antes da potência): 3-2x-x^2=-(x-1)(x+3).
Fator do denominador: x^2-4x-5=(x-5)(x+1).
Os pontos críticos na reta são: -3),(-1),(1),(5). Vamos testar o sinal em cada intervalo:
  1. x<-3:
  • x+3<0, x-1<0 (x-1)(x+3)>0 ⇒ numerador <0.
  • x+1<0, x-5<0 ⇒ denominador >0.
    ⇒ razão <0, não satisfaz.
  1. -3:
  • x+3>0, x-1<0 (x-1)(x+3)<0 ⇒ numerador >0.
  • x+1<0, x-5<0 ⇒ denominador >0.
    ⇒ razão >0, satisfaz.
  1. -1:
  • x+3>0, x-1<0 ⇒ numerador >0.
  • x+1>0, x-5<0 ⇒ denominador <0.
    ⇒ razão <0, não satisfaz.
  1. 1:
  • x+3>0, x-1>0 ⇒ numerador <0.
  • x+1>0, x-5<0 ⇒ denominador <0.
    ⇒ razão >0, satisfaz.
  1. x>5:
  • x+3>0, x-1>0 ⇒ numerador <0.
  • x+1>0, x-5>0 ⇒ denominador >0.
    ⇒ razão <0, não satisfaz.

Passo 4

Agora coleto os intervalos onde (3-2x-x^2)^17x^2-4x-5>=0. Nos intervalos -3 e 1 a fração é positiva. Como queremos >=0, incluímos também os pontos onde a fração zera, isto é, onde o numerador é zero ( x=-3 e x=1 ), desde que o denominador não seja zero nesses pontos. Excluímos x=-1 e x=5 porque tornam o denominador zero.

Passo 5

Pronto! Temos a solução em três representações conforme pedido.

Resposta

Notação em conjunto: xinRmid -3<= x<-1 ou 1<= x<5
Notação em intervalo: [-3,-1)cup[1,5)
Representação na reta numérica: segmento fechado em -3 até -1 aberto, e segmento fechado em 1 até 5 aberto ( -3bul<=t─────○-1 [1(●───────○5).

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