- Esboce o gráfico da função
, sabendo que
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico de
para o qual já temos
O conteúdo usado será análise de domínio, assíntotas, interceptos, monotonicidade (pela derivada primeira) e concavidade (pela derivada segunda).
Passo 2
Domínio: todos os
tais que
.
Assíntotas verticais aparecem onde o denominador se anula, ou seja em .
Para , como
, temos
Assíntotas verticais aparecem onde o denominador se anula, ou seja em
Para
logo há assíntota horizontal em
.
Passo 3
Intercepto em
: resolver
dá
. Logo o gráfico passa pela origem
.
Comportamento perto de :
para , o denominador
e o numerador
, logo
;
para ,
e numerador
, logo
.
Comportamento perto de
para
para
Passo 4
Analisando o sinal de
: o denominador é sempre positivo (exceto em
), então
Logo
é crescente em
e decrescente em
e em
. Há um máximo local em
Passo 5
Analisando
: o ponto de inflexão vem de
, isto é
, com
Para
temos
e
, daí
(concavidade para cima).
Para vem
e
, logo
(concavidade para baixo).
Para ambas partes são positivas e
(concavidade para cima).
Para
Para
Passo 6
Juntando tudo:
- Assíntotas: vertical em
e horizontal em . - Cresce de
(em ) até com concavidade para cima, inflete em e continua crescente concavo-down até o máximo em . - De lá desce, cruza a origem
, cai para ao aproximar . - Para
sai de e decresce sempre concavo-up, aproximando-se de quando .
Resposta
O esboço mostra:
- VA:
, HA: . - Máximo local em
. - Inflexão em
. - Cruzamento em
. - Cresce em
, decresce em e em . - Concavidade: para cima em
e em , para baixo em .