1. Esboce o gráfico da função f(x)=10 x(x-1)^3, sabendo que
f^prime(x)=-20 x-10(x-1)^4 e f^prime prime(x)=60 x+60(x-1)^5

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de
f(x)=10x(x-1)^3,
para o qual já temos
f'(x)=-20x-10(x-1)^4, f''(x)=60x+60(x-1)^5
O conteúdo usado será análise de domínio, assíntotas, interceptos, monotonicidade (pela derivada primeira) e concavidade (pela derivada segunda).

Passo 2

Domínio: todos os x tais que xneq1.
Assíntotas verticais aparecem onde o denominador se anula, ou seja em x=1.
Para xtopminfty, como degnum=1<3=degden, temos
f(x)sim10xx^3=10x^2to0^+,
logo há assíntota horizontal em y=0.

Passo 3

Intercepto em x: resolver f(x)=0 x=0. Logo o gráfico passa pela origem (0,0).
Comportamento perto de x=1:
para xto1^-, o denominador (x-1)^3to0^- e o numerador to10, logo f(x)to-infty;
para xto1^+, (x-1)^3to0^+ e numerador to10, logo f(x)to+infty.

Passo 4

Analisando o sinal de f'(x)=-(20x+10)(x-1)^4: o denominador é sempre positivo (exceto em x=1), então
f'(x)>0iff -(20x+10)>0iff20x+10<0iff x<-tfrac12
Logo f é crescente em (-infty,-tfrac12) e decrescente em (-tfrac12,1) e em (1,infty). Há um máximo local em
x=-tfrac12, fl(-tfrac12r)=10(-tfrac12)(-tfrac32)^3 =-5/!l(-tfrac278r)=4027

Passo 5

Analisando f''(x)=60(x+1)(x-1)^5: o ponto de inflexão vem de x+1=0, isto é x=-1, com
f(-1)=10(-1)(-2)^3=-10/(-8)=tfrac54
Para x<-1 temos x+1<0 e (x-1)^5<0, daí f''>0 (concavidade para cima).
Para -1<x<1 vem x+1>0 e (x-1)^5<0, logo f''<0 (concavidade para baixo).
Para x>1 ambas partes são positivas e f''>0 (concavidade para cima).

Passo 6

Juntando tudo:
  • Assíntotas: vertical em x=1 e horizontal em y=0.
  • Cresce de 0^+ (em xto-infty) até (-1,,tfrac54) com concavidade para cima, inflete em (-1,tfrac54) e continua crescente concavo-down até o máximo em l(-tfrac12,tfrac4027r).
  • De lá desce, cruza a origem (0,0), cai para -infty ao aproximar xto1^-.
  • Para x>1 sai de +infty e decresce sempre concavo-up, aproximando-se de y=0^+ quando xto+infty.

Resposta

O esboço mostra:
  • VA: x=1, HA: y=0.
  • Máximo local em l(-tfrac12,tfrac4027r).
  • Inflexão em (-1,tfrac54).
  • Cruzamento em (0,0).
  • Cresce em (-infty,-tfrac12), decresce em (-tfrac12,1) e em (1,infty).
  • Concavidade: para cima em (-infty,-1) e em (1,infty), para baixo em (-1,1).

Exercícios relacionados