1. Determine uma relação entre m e n que garanta que
lim x 0 sen^2(m x)[ln (1+n x)]^2=1

Passo 1

O problema pede que a gente encontre uma relação entre m e n tal que
limxto0sin^2(m x)[ln(1+n x)]^2 = 1
Aqui o conteúdo principal é usar as expansões em série de Taylor para sin(m x) e ln(1+n x) perto de x=0.

Passo 2

Escrevemos as expansões de primeira ordem (mais forte do que basta) em xto0:
sin(m x) = m x + O(x^3), ln(1+n x) = n x + O(x^2)
Ao elevar ao quadrado, fica
sin^2(m x) = m^2 x^2 + O(x^4), [ln(1+n x)]^2 = n^2 x^2 + O(x^3)

Passo 3

Substituindo na fração, temos
sin^2(m x)[ln(1+n x)]^2 = m^2 x^2 + O(x^4)n^2 x^2 + O(x^3) ;xrightarrow[xto0]; m^2n^2
Logo o limite só depende de tfracm^2n^2.

Passo 4

Para que esse limite valha exatamente 1, exigimos
m^2n^2 = 1 Longrightarrow m^2 - n^2 = 0 Longrightarrow m = n ;ou; m = -n

Resposta

A relação entre m e n que garante o limite igual a 1 é
m^2 = n^2,
isto é,
m = n ou m = -n

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