Exercício 17. (Apostol seção 4.10 exercícios 2) Em cada um dos casos abaixo, ache uma matriz C in Mn(R) tal que C^-1 A C é uma matriz diagonal ou explique por que uma tal matriz não existe.
A=(ll1 & 2 5 & 4),

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma matriz Cin M2(R) tal que C^-1AC seja diagonal. O conteúdo usado será diagonalização de matrizes reais por meio de valores e vetores próprios.

Passo 2

Calcular o polinômio característico de A. Temos
chiA(lambda)=detl(A-lambda Ir) =det 1-lambda & 2 5 & 4-lambda =(1-lambda)(4-lambda)-10
Ao expandir,
(1-lambda)(4-lambda)-10 =lambda^2-5lambda-6

Passo 3

Encontrar as raízes de chiA(lambda)=0:
lambda^2-5lambda-6=0 Longrightarrow lambda=5pmraiz25+242 =5pm72,
logo os autovalores são
lambda1=6, lambda2=-1
Como são dois autovalores reais distintos, A é diagonalizável sobre R.

Passo 4

Determinar um autovetor para cada autovalor.
Para , resolvemos :
escolhendo obtemos . Assim um autovetor é
Para , resolvemos :
escolhendo obtemos . Assim outro autovetor é

Passo 5

Formar a matriz C cujas colunas são v1 e v2. Então
C=2 & 15 & -1 e C^-1AC=6 & 00 & -1

Resposta

C=2 & 15 & -1, C^-1AC=6 & 00 & -1

Exercícios relacionados